复数运算

引入

两个复数相乘，为什么结果的角度等于两个角之和？

复数的除法为什么要乘共轭？

为什么乘以 $i$ 相当于旋转 $90^{\circ }$？

正文

定义

复数 $z_1=a_1+b_{1}i$、$z_2=a_2+b_{2}i$ 的运算按实数运算法则进行，只需用 $i^2=-1$ 化简。

加减法

$z_1\pm z_2=(a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)i$

几何意义：向量平移（平行四边形法则）。与向量的加法完全一致。

乘法

代数式：

$z_1{z}_2=(a_1+b_{1}i)(a_2+b_{2}i)=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i$

三角式：

$z_1{z}_2=r_1{r}_2\left[\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\right]$

量	变化
模	相乘：$r_1{r}_2$
辐角	相加：${\theta }_1+{\theta }_2$

“模相乘、角相加”是复数乘法的本质。它把乘法变成了旋转与伸缩的组合。

乘法的几何意义

乘以 $i$：

$i\cdot (a+bi)=-b+ai$

对应点 $(a,b)\to (-b,a)$，即逆时针旋转 $90^{\circ }$。

乘数	效果
$i$	逆时针旋转 $90^{\circ }$
$-1$	旋转 $180^{\circ }$
$e^{i\theta }$	旋转 $\theta$
$2$	模放大 $2$ 倍，不旋转

这就是复数在几何变换中不可替代的原因：它用一次乘法同时表达了”旋转”和”缩放”。

除法

$z_1÷z_2=\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1{\bar{z}}_2}{z_2{\bar{z}}_2}=\frac{z_1{\bar{z}}_2}{|z_2{|}^2}$

乘共轭的目的是把分母变成实数，因为 $z_2{\bar{z}}_2=|z_2{|}^2$ 是实数。

三角式：

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left[\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)\right]$

量	变化
模	相除
辐角	相减

乘方与开方

由乘法法则，$n$ 次方为

$z^n=r^n\left[\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )\right]$

这就是棣莫弗定理。

开方则是反问题：$w^n=z$ 有 $n$ 个解，

$w_k=\sqrt[n]{r}\left[\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n}\right],k=0,1,\cdots ,n-1$

$n$ 次方根有 $n$ 个，在复平面上均匀分布在一个圆上。这是实数开方（通常只取一个或两个值）所没有的现象。

运算律

运算律	是否成立
加法交换律	成立
加法结合律	成立
乘法交换律	成立
乘法结合律	成立
乘法对加法分配律	成立
大小比较	不成立

复数域满足域的全部公理（除序关系外），所以可以像实数一样做代数运算，只是不能比大小。

典型计算

$\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i$

技巧：分母为 $1-i$ 时，乘 $1+i$ 是最快的。

$(1+i{)}^2=2i,(1+i{)}^4=-4,(1+i{)}^8=16$

$(1+i{)}^2=2i$ 是关键恒等式，很多高次计算都从这里拆。

常见误区

错误说法	问题
”复数除法直接除实部虚部”	必须乘共轭
"$|z_1{z}_2|=|z_1|+|z_2|$"	是相乘
”开方只取主值”	$n$ 次方有 $n$ 个根
"$\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{1}$"	根号法则对负数不成立，应为 $i^2=-1$
“乘以 $i$ 是顺时针转”	是逆时针

引出

为什么复数开方会有 $n$ 个根，而实数开方通常只取一个？

乘以 $e^{i\theta }$ 与旋转矩阵是同一件事吗？

复数乘法与二维旋转的对应，能否推广到三维？

• 复数：定义与三种表示
• 复数的三角表示：模与辐角
• 欧拉公式：指数形式
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