数列的极限

引入

一个无法确定终点的对象，我们是如何尽力维护的？

对无上下限的数列进行分析

假如我正在前往家的路上，但每次只能走目前位置到家路程的一半，尽管我离家越来越近，但永远无法实现抵达家的真实.（另一个相似悖论）

数列是一种特殊函数的极限

定义（描述性）

对于数列 ${x_{n}}$ ，如果当 n 无限增加，数列的 ${x_{n}}$ 无限接近于一个实数 $a$ ，则称 $a$ 为数列 ${x_{n}}$ 当 $n$ 趋向无穷大时的极限.

定义（精确）

任意给定一个正数 $ε$ ,总有正整数 $N$ ，使得 $n > N$ 的所有 $x_{n} > ε$ 都满足 $∣ x_{n} - a ∣ < ε$ ,则 $a$ 为数列 ${x_{n}}$ 当 $n \to \infty$ 的极限，或认为 ${x_{n}}$ 收敛于 $a$ .

数学表示：

a = n \to \infty lim x_{n} \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists 正整数 N > 0, 当 n > N 时有 ∣ x_{n} - a ∣ < ε

根据定义，我们可以证明一些数列有极限，如：

n \to \infty lim (\frac{1}{2})^{n} = 0 证： \forall ε > 0 使得 : (\frac{1}{2})^{n} - 0 < ε \Leftrightarrow n > \frac{ln ε}{ln \frac{1}{2}} = \frac{ln ε}{- ln 2} = - \frac{ln ε}{ln 2} 取 N = ⌈ - \frac{ln ε}{ln 2} ⌉ + 1 当 n > N 时，总有： (\frac{1}{2})^{n} - 0 < ε 则： n \to \infty lim (\frac{1}{2})^{n} = 0

证明的关键在于变化一个不等式，确定 $N$ .
更好的理解： $ε, N$ 是确定的的点，认为它静止了，我们可以继续从变化的 $n$ 找到更接近极限的式子.如此不断找到更小的 $ε$ ，总能被满足，可证明这个数列有极限.

有界性

子列

保号性