能量量子化

引入

为什么黑体辐射的曲线在短波段会掉下来，而不是一直上升？

为什么能量必须“一份一份”地交换？

为什么这个假设看起来只是数学技巧，却掀翻了整个经典物理？

19 世纪末，经典物理在热辐射问题上遇到了无法解释的矛盾。普朗克为了拟合实验曲线，被迫假设能量不连续。这个假设最初连他自己都不相信，却成了量子力学的起点。

正文

定义

能量量子化指能量不能连续变化，只能取某些分立值。最小的一份称为能量子。 $E=h\nu$

黑体辐射的困难

黑体是在任何温度下都能完全吸收并理想发射电磁辐射的物体。实验测得的辐射强度随波长变化，呈现出“先升后降”的曲线。

经典理论（瑞利-金斯定律）给出：

$$I(\nu )\propto {\nu }^{2}kT$$

这个式子在高频（短波）区域趋于无穷，与实验完全不符，被称为紫外灾难。

频段	经典预言	实验结果
低频	与实验符合	—
高频	无限增大	迅速趋于零

普朗克的假设

1900 年，普朗克提出：

振子的能量只能取分立值 $E=nh\nu$，发射或吸收能量时以 $h\nu$ 为单位。

概念	含义
$h$	普朗克常数，$6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$
$\nu$	频率
$h\nu$	一个能量子

这个假设的关键后果：高频振子需要的能量子很大，而热运动能提供的能量约为 $kT$，当 $h\nu \gg kT$ 时，激发概率按 $e^{-h\nu /kT}$ 急剧下降，高频辐射被自然截断。

为什么能解决问题

频率越高 → 能量子 hν 越大
  ↓
热运动平均能量约 kT
  ↓
hν ≫ kT 时，振子几乎无法被激发
  ↓
高频辐射强度趋于零

这就是紫外灾难被消除的机制。经典理论认为能量可以无限细分，所以任何频率都能获得一点能量；量子化切断了大能量子的供给。

从能量子到光子

普朗克只把量子化用在“振子与辐射交换能量”上，并未认为光本身是粒子。

爱因斯坦在 1905 年更进一步：光本身就是由一份份能量组成的光子。这解释了光电效应中“频率不够就无论如何打不出电子”的现象。

阶段	提出者	量子化的对象
1900	普朗克	振子能量
1905	爱因斯坦	光本身
1913	玻尔	原子能级
1924	德布罗意	物质波
1926	薛定谔	波函数与能级

每一步都在前一步的基础上扩大量子化的适用范围。

量子化的普遍性

系统	量子化的量	间距
谐振子	振动能量	$h\nu$，等间距
氢原子	电子能级	不等间距，随 $n$ 增大而变小
一维势阱	平动能量	$\propto n^2$
角动量	角动量大小与取向	$\hslash$ 的整数或半整数倍
自旋	自旋角动量	固定值

量子化不是某一个系统的特例，而是微观世界的普遍特征。它的数学根源是边界条件，见薛定谔方程。

日常为什么察觉不到

量子效应在作用量与 $h$ 可比时才显著：

对象	典型作用量	与 $h$ 的比较
电子在原子中	$\sim 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$	同量级
单摆（1 s 周期）	$\sim 10^{-2}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$	大 $10^{32}$ 倍
行星公转	极大	完全可忽略

宏观系统的量子数极大，能级间距相对能量小到无法分辨，所以看起来是连续的。

常见误区

错误说法	问题
“量子化就是能量很小”	是分立，不是小
“普朗克提出了光子”	普朗克提能量子，光子是爱因斯坦的
“宏观世界不遵守量子力学”	遵守，只是效应不可观测
“能量量子化只适用于光”	所有微观系统都量子化

引出

普朗克常数为什么能用来定义千克？见国际单位制基本单位。

光电效应如何证明光本身是量子化的？见光电效应。

为什么谐振子的能级等间距，而氢原子的能级不等间距？