麦克斯韦方程组

引入

库仑定律、高斯定理、安培环路定理、法拉第电磁感应定律——这些分散的定律各自描述了电磁现象的一个侧面。麦克斯韦将它们统一为一组完整的方程，预言了电磁波的存在，并揭示了光的电磁本质。

定义

麦克斯韦方程组是描述电场和磁场如何产生、如何相互作用的四个偏微分方程，是经典电磁学的完整理论框架。

方程	微分形式	物理含义
高斯定律	$\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ϵ _{0}}$	电荷是电场的源
磁场高斯定律	$\nabla \cdot B = 0$	不存在磁单极子
法拉第定律	$\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$	变化的磁场产生电场
安培-麦克斯韦定律	$\nabla \times B = μ_{0} J + μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$	电流和变化的电场产生磁场

安培环路定理原本只适用于稳恒电流。麦克斯韦引入了位移电流项 $ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ ，使方程在时变场中也成立。

这个修正的深远后果：变化的电场产生磁场 → 变化的磁场产生电场 → 自维持的电磁扰动以光速传播 = 电磁波。

在真空（ $ρ = 0, J = 0$ ）中，将法拉第定律和安培-麦克斯韦定律联立，可以得到波动方程：

\nabla^{2} E = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}

波速 $v = 1/ μ_{0} ϵ_{0} = c$ ，恰好等于光速。麦克斯韦由此断言：光就是电磁波。

麦克斯韦方程组在两种介质的界面处给出边界条件，可以推导折射定律、反射定律、布儒斯特角等光学规律。

麦克斯韦方程组是经典物理学的巅峰之一。它在高速情况下的修正涉及狭义相对论——爱因斯坦正是从麦克斯韦方程组的洛伦兹协变性出发建立了相对论。

在微观尺度上，电磁相互作用的量子描述是量子电动力学（QED），它解释了化学键的物理本质中更精细的效应。