三维投影

引入

一个正方体有六个面，为什么工程图纸上只画三个视图就够了？

为什么斜二测画法要规定”$y$ 轴方向长度减半、角度画成 $45^{\circ }$“？这样画出来的图还是”对”的吗？

三视图还原几何体时，为什么有时候会有不止一种可能？

三维物体画在二维纸面上，必须损失信息。投影规则决定了损失哪些信息、保留哪些信息。三视图保留的是”各方向上的轮廓”，斜二测保留的是”可测量性”。

正文

定义

投影是用光线照射物体，在某个面上得到图形的方法。平行光线得到平行投影，点光源得到中心投影。

中心投影与平行投影

类型	光线	特点	用途
中心投影	交于一点	近大远小，不能保持比例	透视画、摄影
平行投影	平行	保持平行性和比例（特定方向）	工程图、三视图

平行投影又分两种：

类型	投射线与投影面	效果
正投影	垂直	反映真实形状（当图形平行于投影面）
斜投影	斜交	形状变形

三视图用的是正投影：只有正投影才能保证”平行于投影面的线段长度不变”。

三视图

视图	观察方向	反映的量
正视图（主视图）	从前向后	长、高
侧视图（左视图）	从左向右	宽、高
俯视图	从上向下	长、宽

三条规律：

规律	含义
长对正	正视图与俯视图的长度对齐
高平齐	正视图与侧视图的高度对齐
宽相等	俯视图与侧视图的宽度相等

这三条规律来自”三个视图是同一物体在三个互相垂直方向上的正投影”，不是人为约定。

三视图还原几何体

步骤	做法
1	由正视图确定高度和左右轮廓
2	由俯视图确定底面形状
3	由侧视图确定前后方向的凹凸
4	综合判断，必要时构造模型验证

为什么可能有多解？ 因为三视图只给出三个方向的轮廓，遮挡关系被压平了。一个凸起和一个凹槽，在某些方向上可能投影相同。这就是工程上还需要剖视图的原因。

斜二测画法

定义

斜二测画法是画水平放置平面图形直观图的常用方法：$x$ 轴方向长度不变，$y$ 轴方向长度减半，$x$ 轴与 $y$ 轴的夹角画成 $45^{\circ }$（或 $135^{\circ }$）。

规则	内容
建系	在原图中取互相垂直的 $x$、$y$ 轴
画轴	直观图中两轴成 $45^{\circ }$
横向	平行于 $x$ 轴的线段长度不变
纵向	平行于 $y$ 轴的线段长度变为原来的一半
平行性	原图中的平行线仍平行

为什么要减半？ 因为 $45^{\circ }$ 的斜轴会把纵向”压缩”视觉上的一半，只有把长度也减半，图形才不会显得被拉长。这是为了让直观图看起来”像”，而不是为了保持面积。

面积关系

用斜二测画出的直观图，面积是原图面积的 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 倍。

$\frac{S_{\text{直观图}}}{S_{\text{原图}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

这个比例是固定的，因为所有纵向线段都乘了 $\frac{1}{2}$，而轴间夹角为 $45^{\circ }$，$\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$，两者相乘即得。

图形	原面积	直观图面积
边长 $a$ 的正方形	$a^2$	$\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$
底 $a$ 高 $h$ 的三角形	$\frac{1}{2}ah$	$\frac{\sqrt{2}}{8}ah$

做题时若给出直观图面积求原图面积，要除以 $\frac{\sqrt{2}}{4}$，即乘以 $2\sqrt{2}$。

常见误区

错误说法	问题
”三视图能唯一确定几何体”	存在多解情况
”斜二测画法保持面积”	面积为原来的 $\frac{\sqrt{2}}{4}$
“斜二测中所有线段都缩短一半”	只有 $y$ 轴方向减半
”中心投影也保持平行性”	不保持，近大远小
”侧视图是从右向左看”	通常规定为从左向右

引出

为什么正投影能保持平行线段的长度比例，而中心投影不能？

三视图的多解性在工程上如何通过剖视图消除？

斜二测画法的面积比例能否用线性变换的雅可比行列式解释？

• 立体几何：空间位置关系的基础
• 空间点、直线、平面之间的位置关系：三视图中的轮廓来源
• 简单几何体表面积、体积：直观图上的度量计算
• 坐标变换：投影作为一种变换
• 几何：几何分支的目录
• 数学：数学学科入口