简单几何体表面积、体积

引入

为什么圆锥的体积恰好是同底等高圆柱的三分之一？这个”三分之一”从哪来？

为什么球的体积公式里有 $\frac{4}{3}$，而表面积公式里是 $4$？

一个圆台可以看成”大圆锥减去小圆锥”，这个思路能推出所有台的公式吗？

柱、锥、台、球是高中立体几何的四个基本几何体。它们的体积公式并不是四个互不相干的结论，而是由祖暅原理和”台是锥的截断”这两条线索统一起来的。

正文

定义

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

用一句话概括：“幂势既同，则积不容异”——等高处的截面积相同，体积就相同。它是中国古代数学家祖暅（祖冲之之子）提出的，比欧洲的卡瓦列里原理早约一千年。

柱体

$V_{\text{柱}}=Sh$

其中 $S$ 为底面积，$h$ 为高。对圆柱，$S=\pi r^2$，故 $V=\pi r^{2}h$。

由祖暅原理可证：任意等底等高的柱体体积都相等，所以斜柱与直柱同体积（高是两底面间的距离，不是侧棱长）。

锥体

$V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}Sh$

对圆锥，$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。

三分之一从哪来？ 构造一个与锥体等底等高的柱体，在高度 $x$ 处（从顶点往下量），锥体的截面是与底面相似、相似比为 $\frac{x}{h}$ 的图形，面积为 $S{\left(\frac{x}{h}\right)}^2$。三个这样的锥体可以通过特定方式拼成一个柱体，或用积分直接得到系数 $\frac{1}{3}$。

高中阶段通常通过”三棱柱可分割为三个等体积三棱锥”来说明这个系数。

台体

$V_{\text{台}}=\frac{1}{3}h\left(S_{\text{上}}+S_{\text{下}}+\sqrt{S_{\text{上}}{S}_{\text{下}}}\right)$

台的公式不是新公式，它由”大锥减小锥”推出：

$V_{\text{台}}=V_{\text{大锥}}-V_{\text{小锥}}=\frac{1}{3}{S}_{\text{下}}H-\frac{1}{3}{S}_{\text{上}}(H-h)$

整理即得上式。当 $S_{\text{上}}=0$ 时退化为锥体公式，当 $S_{\text{上}}=S_{\text{下}}$ 时退化为柱体公式。

几何体	$S_{\text{上}}$	结果
台	$S_{\text{上}}>0$	$\frac{1}{3}h(S_{\text{上}}+S_{\text{下}}+\sqrt{S_{\text{上}}{S}_{\text{下}}})$
锥	$0$	$\frac{1}{3}{S}_{\text{下}}h$
柱	$S_{\text{下}}$	$Sh$

三者可以用同一个公式表达，这是记公式时最省力的方式。

球

$V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi R^3,S_{\text{球}}=4\pi R^2$

球没有”底面积”，公式只能由积分或祖暅原理推出。

用祖暅原理的思路：取半径 $R$ 的半球，与一个底面半径 $R$、高 $R$ 的圆柱挖去一个同底同高的圆锥后剩下的部分比较。在高度 $x$ 处，半球的截面面积为 $\pi (R^2-x^2)$，圆柱挖锥后的截面面积也是 $\pi R^2-\pi x^2$，两者处处相等，故体积相等：

$V_{\text{半球}}=\pi R^3-\frac{1}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3$

乘以 $2$ 得 $V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi R^3$。

表面积与体积的关系也值得注意：$S_{\text{球}}=4\pi R^2$ 恰好是 $V_{\text{球}}$ 对 $R$ 求导的结果。这不是巧合：体积是半径从 $0$ 累积到 $R$ 的”球壳”之和，对 $R$ 求导即得最外层的球壳面积。

表面积汇总

几何体	侧面积	全面积
圆柱	$2\pi rh$	$2\pi r^2+2\pi rh$
圆锥	$\pi rl$（$l$ 为母线）	$\pi r^2+\pi rl$
圆台	$\pi (r_1+r_2)l$	$\pi r_1^2+\pi r_2^2+\pi (r_1+r_2)l$
球	—	$4\pi R^2$

圆锥侧面积公式 $\pi rl$ 的由来：把侧面展开成扇形，扇形半径是母线 $l$，弧长是底面周长 $2\pi r$，面积为 $\frac{1}{2}\cdot 2\pi r\cdot l=\pi rl$。

组合体与切割

类型	处理方式
拼接体	体积相加，注意重叠面不计入表面积
挖去体	体积相减，注意新增内表面计入表面积
切割体	按切面拆分为基本几何体

组合体问题的陷阱几乎都在表面积：挖去一个球，体积减少，表面积反而增加，因为多出了球面的内壁。

常见误区

错误说法	问题
”斜柱体积要用侧棱长”	用两底面间的高
”台体公式需要单独记”	由锥体公式截得，可退化验证
”球的体积和表面积没有关系”	表面积是体积对半径的导数
”挖去部分会减少表面积”	可能增加
”圆锥侧面积是 $\frac{1}{2}\cdot 2\pi r\cdot h$“	用母线 $l$，不是高 $h$

引出

祖暅原理为什么能成立？它和积分中的”截面法”是同一件事吗？

表面积是体积对半径的导数，这个关系对正方体成立吗？

不规则几何体的体积，能否都用截面面积积分求出？

• 立体几何：空间图形的基础
• 三维投影：直观图中的度量
• 空间点、直线、平面之间的位置关系：切割时的位置关系
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