空间点、直线、平面之间的位置关系

引入

教室里天花板的一条边和地面的一条边，既不平行也不相交，它们算什么关系？

为什么”两条直线没有公共点”在平面内意味着平行，在空间中却有两种可能？

一条斜线和它在平面内的射影，为什么能代表这条斜线与平面的夹角？

平面几何里，两条直线的位置关系只有相交和平行两种。进入三维空间后，多出了”异面”这一类，整个位置关系的分类体系随之扩展。

正文

定义

异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线。它们既不平行，也不相交。

两条直线的三种关系

关系	共面性	公共点	判定
相交	共面	$1$ 个	有公共点
平行	共面	$0$ 个	共面且无公共点
异面	不共面	$0$ 个	不共面

“无公共点”不能推出平行。这是立体几何与平面几何最大的直觉差异。要判断平行，还必须额外确认共面。

异面直线的判定

方法	做法
反证法	假设共面，推出与已知条件矛盾
定理	过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线

第二条定理最实用：只要一条线穿过平面、另一条线在平面内且不过穿点，两者必然异面。

异面直线所成的角

定义

过空间任一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角，称为异面直线所成的角，范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$。

做法叫平移法：把两条异面直线平移到同一点，让它们相交，再用平面几何求角。

步骤	操作
1	选一个合适的点（常取其中一条线上的已知点）
2	作另一条线的平行线
3	在得到的三角形中求角
4	若结果为钝角，取其补角

两条异面直线所成角为 $90^{\circ }$ 时，称它们互相垂直，记作 $a\perp b$。注意这与”相交成直角”不同，异面垂直没有交点。

直线与平面所成的角

情形	角度
直线在平面内	$0^{\circ }$
直线与平面平行	$0^{\circ }$
直线与平面垂直	$90^{\circ }$
斜线与平面相交	斜线与射影的夹角，$\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$

为什么用射影定义？ 因为斜线上每一点到平面的垂足构成射影，射影是斜线在平面内”最贴近”的方向，用它作为参照，角度才唯一。

求法：在斜线上取一点（非斜足），作平面的垂线，连接垂足与斜足得到射影，在直角三角形中求角。

二面角

定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为棱。在棱上任取一点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角称为二面角的平面角。

关键是”垂直于棱”：两条射线必须都垂直于棱，且各自在对应半平面内。这样定义的平面角与点的选取无关。

二面角大小	两平面关系
锐角	斜交
直角	两平面垂直
钝角	斜交

三种角的关系

角	顶点位置	范围
异面直线所成角	平移后的交点	$\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$
线面角	斜足	$\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$
二面角	棱上任意点	$(0,\pi )$

二面角可以取钝角，另外两种不可以。这是因为二面角描述的是两个半平面的张开程度，而前两者描述的是方向偏离，取锐角才有唯一性。

常见误区

错误说法	问题
”无公共点就是平行”	可能异面
”异面直线所成角可以是钝角”	规定取锐角或直角
”线面角就是斜线与平面内任意直线的夹角”	必须是与射影的夹角
”二面角的平面角可以任取两条射线”	必须都垂直于棱
”异面垂直的说法不成立”	成立，指所成角为 $90^{\circ }$

引出

为什么二面角的平面角与棱上点的选取无关？

用向量求这三种角，公式为什么会统一成”夹角余弦的绝对值”？

空间中的距离能否也用向量统一表示？

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