引入
平面几何的定理都能画在纸上，立体几何的对象画不出来，凭什么相信结论成立？
为什么”三点确定一个平面”是对的，而”三点确定一条直线”是错的？
一条直线和平面内一条直线垂直，就能说这条直线垂直于这个平面吗？
平面几何依赖直觉绘图，立体几何不能。它只能依靠一组不加证明的基本事实（公理），再用逻辑推出全部结论。这套做法由欧几里得《几何原本》确立，是公理化体系的第一个完整范例。
正文
定义
立体几何研究三维空间中点、直线、平面的位置关系及其度量性质，其基础是一组关于基本元素位置关系的基本事实。
四个基本事实
| 编号 | 内容 | 作用 |
|---|---|---|
| 基本事实 1 | 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 | 确定平面的依据 |
| 基本事实 2 | 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 | 判定直线在平面内 |
| 基本事实 3 | 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 | 确定交线 |
| 基本事实 4 | 平行于同一条直线的两条直线平行 | 平行的传递性 |
基本事实 1 是”三点定面”，不是”两点定面”：过两点的平面有无数个，只有再加一个不共线的点才唯一。反过来”两点定线”成立——这就是平面几何与立体几何在直觉上的第一个分岔。
三个推论
| 推论 | 内容 |
|---|---|
| 推论 1 | 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 |
| 推论 2 | 经过两条相交直线，有且只有一个平面 |
| 推论 3 | 经过两条平行直线，有且只有一个平面 |
推论都是基本事实 1 的直接应用：分别在两条直线（或直线与点）上取三个不共线的点即可。
位置关系总表
两条直线
| 关系 | 是否共面 | 公共点 |
|---|---|---|
| 相交 | 共面 | 一个 |
| 平行 | 共面 | 无 |
| 异面 | 不共面 | 无 |
异面直线是立体几何独有的概念：平面几何中任意两条直线都共面，所以”既不平行也不相交”不可能出现。异面直线所成的角，通过平移到相交来度量。
直线与平面
| 关系 | 公共点个数 |
|---|---|
| 直线在平面内 | 无数个 |
| 直线与平面相交 | 一个 |
| 直线与平面平行 | 无 |
两个平面
| 关系 | 公共点 |
|---|---|
| 平行 | 无 |
| 相交 | 一条公共直线 |
平行的判定与性质
| 类型 | 判定 | 性质 |
|---|---|---|
| 线面平行 | 平面外一条直线与平面内一条直线平行 | 若线面平行，过该线的平面与已知平面的交线与该线平行 |
| 面面平行 | 一个平面内两条相交直线都平行于另一平面 | 若面面平行，任一平面与两平面的交线平行 |
判定的方向是”由低维推高维”，性质是”由高维推低维”。记忆时抓住这条方向性，就不容易混。
垂直的判定与性质
| 类型 | 判定 | 性质 |
|---|---|---|
| 线面垂直 | 一条直线与平面内两条相交直线都垂直 | 若线面垂直，则该线垂直于平面内所有直线 |
| 面面垂直 | 一个平面过另一个平面的一条垂线 | 若面面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面 |
“两条相交直线”是关键。若换成”两条平行直线”，判定失效：一条直线可以垂直于平面内的一对平行线，但仍然斜穿平面。
空间距离与角
| 度量 | 定义方式 |
|---|---|
| 异面直线所成角 | 平移到相交后的锐角或直角，范围 |
| 直线与平面所成角 | 斜线与它在平面内射影的夹角，范围 |
| 二面角 | 从棱上一点在两个面内分别作棱的垂线，两垂线的夹角 |
| 点面距 | 点到垂足的距离 |
常见误区
| 错误说法 | 问题 |
|---|---|
| ”三点确定一个平面” | 必须是不共线的三点 |
| ”垂直于平面内两条直线就垂直于此平面” | 必须是两条相交直线 |
| ”不平行的两条直线一定相交” | 可能异面 |
| ”两个平面有一个公共点就相交于一点” | 相交于一条直线 |
| ”异面直线所成角可以是钝角” | 规定取锐角或直角 |
引出
基本事实为什么不能证明？它们和欧几里得第五公设的争议有什么关系？
不用公理，能否用向量计算代替所有位置关系的推理？
空间中的距离和角，怎样统一为向量的运算？
- 空间点、直线、平面之间的位置关系：位置关系的系统整理
- 三维投影：如何把空间图形画在平面上
- 简单几何体表面积、体积：度量计算
- 空间向量：用代数方法处理立体几何
- 几何：几何分支的目录
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