函数的连续性

引入

“连续”在直觉上是”不断开”，但数学上如何精确描述”不断开”？

为什么连续的定义必须写成 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，而不是”图像可以一笔画出”？

间断点为什么恰好分成三类？

正文

定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ 则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

定义的三层含义

这个等式实际上要求三件事同时成立：

要求	含义
$f(x_0)$ 存在	函数在该点有定义
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在	左右极限存在且相等
两者相等	极限值等于函数值

任何一条不满足，就不连续。间断点的分类正是按”哪一条不满足”来划分的。

用 $\epsilon$-$\delta$ 表述

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{当}|x-x_0|<\delta \text{时},|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

与函数的极限的定义相比，这里去掉了”去心”（不再要求 $0<|x-x_0|$），因为连续要求函数在 $x_0$ 本身也有定义且值相符。

间断点分类

设 $f$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有定义，但 $x_0$ 处不连续。

类型	特征	例子
可去间断点	极限存在但 $\ne f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义	$\frac{\sin x}{x}$ 在 $0$ 处
跳跃间断点	左右极限都存在但不等	阶跃函数
无穷间断点	至少一侧极限为无穷	$\frac{1}{x}$ 在 $0$ 处
振荡间断点	极限不存在且不趋于无穷	$\sin \frac{1}{x}$ 在 $0$ 处

第一类间断点：左右极限都存在（可去、跳跃）。 第二类间断点：至少一侧极限不存在（无穷、振荡）。

可去间断点的”可去”

若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ 但 $f(x_0)\ne A$，可以重新定义 $f(x_0)=A$，使函数在该点连续。这个操作叫补充定义。

$\tilde{f}(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\ne x_0\\ A,& x=x_0\end{array}$

这就是”可去”的含义：间断可以被”填掉”。

连续函数的运算

运算	结论
和、差、积、商	连续（商要求分母不为零）
复合	连续
反函数	连续（在对应区间上）

基本初等函数在其定义域内都连续，所以初等函数在其定义区间内连续。这条结论让”直接代入”成为求极限的第一步。

闭区间上连续函数的性质

定理	内容
最值定理	必有最大值和最小值
介值定理	能取到最大值与最小值之间的一切值
零点定理	若 $f(a)f(b)<0$，则 $(a,b)$ 内至少有一个零点

三条定理都要求”闭区间”。开区间上不一定成立：$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上无最值。

零点定理是判断方程有根的主要工具：只要找到两端异号，就能断言中间有根，不必解方程。

一致连续

定义

若对任意 $\epsilon >0$，存在只依赖于 $\epsilon$ 的 $\delta >0$，使对区间内任意 $x_1$、$x_2$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$ 就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$，则称 $f$ 在该区间上一致连续。

与普通连续的区别：普通连续的 $\delta$ 依赖于 $\epsilon$ 和该点；一致连续的 $\delta$ 只依赖 $\epsilon$，对区间内所有点通用。

命题	是否成立
一致连续 $\Rightarrow$ 连续	成立
连续 $\Rightarrow$ 一致连续	不成立（开区间）
闭区间上连续 $\Rightarrow$ 一致连续	成立（康托尔定理）

常见误区

错误说法	问题
”图像能一笔画出就连续”	直觉不精确，如处处不连续的函数无法画出
”有定义就连续”	还需极限存在且相等
”左右极限相等就连续”	还需等于函数值
”连续函数一定有最值”	需闭区间
”一致连续与连续是一回事”	开区间上有反例

引出

为什么闭区间上的连续函数一定一致连续，而开区间上不一定？

零点定理能否用来求根的近似值？

连续但处处不可导的函数存在吗？

• 函数的极限：连续的定义基础
• 函数的性质：闭区间上的最值
• 导数：可导与连续的关系
• 区间：邻域与闭区间
• 数学分析：数学分析的整体框架