无穷小与无穷大

引入

“无穷小”是一个很小的数，还是一个趋于零的过程？

为什么说”无穷小量”这个词在标准分析里是矛盾的？

非标准分析中的无穷小，与微积分初学者的直觉有何不同？

正文

定义（无穷小）

若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$（或 $x\to \infty$ 时），则称 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）时的无穷小。

注意：无穷小不是一个”很小的数”，而是一个极限为零的函数。任何非零常数都不是无穷小，无论它多小。

无穷小的性质

性质	内容
有限个无穷小的和	仍是无穷小
有界函数 × 无穷小	仍是无穷小
常数 × 无穷小	仍是无穷小
有限个无穷小的积	仍是无穷小

“有限个”不能换成”无限个”：$\underset{n\text{ 个}}{\underbrace{\frac{1}{n}+\cdots +\frac{1}{n}}}=\frac{n}{n}=1$，不是无穷小。

无穷大

定义

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义。若对任意给定的正数 $M$，总存在 $\delta >0$，使当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时有 $|f(x)|>M$ 则称 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷大，记作 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$。

记号说明：$\lim f(x)=\infty$ 表示”极限不存在，但绝对值无限增大”。它不是说极限等于某个数 $\infty$。

无穷小与无穷大的关系

定理

在同一变化过程中，若 $f(x)\ne 0$：

• $f(x)$ 是无穷大 $\Rightarrow$ $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小
• $f(x)$ 是无穷小 $\Rightarrow$ $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大

这个对偶关系是理解两者的关键。但要注意 $f(x)\ne 0$ 的条件，否则倒数无意义。

函数	$x\to 0$ 时
$x$	无穷小
$\frac{1}{x}$	无穷大
$x\sin \frac{1}{x}$	无穷小
$\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$	既非无穷小也非无穷大（振荡）

最后一行说明：既不是无穷小也不是无穷大是可能的。

无穷小量 vs 非标准分析

初学者常把”无穷小”理解为”一个无限小的正数”。这在标准分析中是错的，但在非标准分析中，这样的数确实存在。

体系	无穷小是什么	地位
标准分析	极限为零的函数	主流
非标准分析	小于任何正实数的”数”	1960 年代由罗宾逊建立

标准分析用 $\epsilon$-$\delta$ 语言回避了”无限小”这个概念，因为它在实数系中不存在（实数的阿基米德性质：不存在小于所有正实数的正数）。

非标准分析通过扩充数系，把无穷小变成了合法的对象。两套体系在结论上等价，只是表述方式不同。

无穷小乘无穷大

$\lim f(x)=\infty ,\lim g(x)=0$

则 $f\cdot g$ 的极限不确定，可能是 $0$、$\infty$ 或任意常数。这就是 $0\cdot \infty$ 型未定式，详见 极限的运算法则。

例子	结果
$x\cdot \frac{1}{x}$	$1$
$x^2\cdot \frac{1}{x}$	$0$
$x\cdot \frac{1}{x^2}$	$\infty$

常见误区

错误说法	问题
”无穷小是很小的数”	是极限为零的函数
”$0$ 是无穷小”	常数 $0$ 可以看作无穷小，但非零常数不行
”无穷大是一个很大的数”	是绝对值无限增大的函数
”无穷大与无穷小互为倒数”	需 $f\ne 0$
“无限个无穷小之和仍是无穷小”	不成立

引出

为什么实数系中不存在”无限小的正数”？

非标准分析如何在不改变结论的前提下容纳无穷小？

无穷小的阶如何用于误差估计？

• 函数的极限：无穷小的定义基础
• 无穷小的比较：阶的概念
• 无穷大的比较：对偶概念
• 极限的运算法则：$0\cdot \infty$ 型
• 函数的连续性：无穷小与连续的关系
• 数学分析：数学分析的整体框架