无穷小的比较

引入

有没有无穷大的比较呢？

有的，其概念在数学上也非常重要——无穷大的比较

正文

定义

求两个无穷小之比的极限，可利用等价无穷小来代替

假设当 $x\to a$（或 $x\to 0$）时，$\lim f(x)=0$ 且 $\lim g(x)=0$。我们通过考察它们比值的极限来定义它们的阶：

$L=\lim \frac{f(x)}{g(x)}$

高阶无穷小

定义：如果 $L=0$，称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小.

同阶无穷小

定义：如果 $L=C(C\mathrm{是任意非零常数})$，称为同阶无穷小.

等价无穷小

是同阶无穷小的一种特殊情况，如果 $L=1$ 那么，我们称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小，记作 $f(x)\sim g(x)$.

低阶无穷小

定义：如果 $L=\infty$，称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的低阶无穷小.

k阶无穷小

如果存在一个正数 $k$，使得：

$\lim \frac{f(x)}{[g(x){]}^k}=C$

那么，我们称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的 $k$ 阶无穷小.

分析方法

常见的等价无穷小

1. $\sin x\sim x$
2. $\tan x\sim x$
3. $\arcsin x\sim x$
4. $\arctan x\sim x$
5. $\ln (x+1)\sim x$
6. $e^x-1\sim x$
7. $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$
8. $a^x-1\sim x\ln a$
9. $(1+x{)}^a-1\sim ax$
10. $\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{x}{n}$

引出

无穷小的比较和无穷大的比较像是同一枚硬币的两面.

等价无穷小的实质是泰勒展开的前几项