无穷小的比较

引入

$x$ 和 $\sin x$ 都趋于零，它们”一样小”吗？

为什么 $\ln (1+x)\sim x$，这个等价关系是从哪来的？

等价无穷小为什么只能在乘除中替换，不能在加减中替换？

正文

定义

设当 $x\to a$（或 $x\to 0$）时，$\lim f(x)=0$ 且 $\lim g(x)=0$，考察比值极限 $L=\lim \frac{f(x)}{g(x)}$

$L$ 的值	称谓	记号
$L=0$	$f$ 是 $g$ 的高阶无穷小	$f=o(g)$
$L=C\ne 0$	同阶无穷小	$f=O(g)$
$L=1$	等价无穷小	$f\sim g$
$L=\infty$	$f$ 是 $g$ 的低阶无穷小（即 $g$ 比 $f$ 高阶）	$g=o(f)$

“高阶”意味着趋于零更快：$x^2$ 是 $x$ 的高阶无穷小，因为 $x^2/x=x\to 0$。

$k$ 阶无穷小

若

$\lim \frac{f(x)}{[g(x){]}^k}=C(C\ne 0)$

则称 $f$ 是关于 $g$ 的**$k$ 阶无穷小**。

函数（$x\to 0$）	阶
$x$	$1$ 阶
$x^2$	$2$ 阶
$1-\cos x$	$2$ 阶（因为 $\sim \frac{x^2}{2}$）
$\tan x-\sin x$	$3$ 阶

$k$ 阶无穷小的本质：用 $g^k$ 作为”标尺”来衡量 $f$ 与零接近的速度。

常用等价无穷小

当 $x\to 0$ 时：

等价关系	来源
$\sin x\sim x$	第一重要极限
$\tan x\sim x$	$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
$\arcsin x\sim x$	反函数
$\arctan x\sim x$	反函数
$\ln (1+x)\sim x$	第二重要极限的对数形式
$e^x-1\sim x$	指数形式
$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$	半角公式
$a^x-1\sim x\ln a$	换底
$(1+x{)}^a-1\sim ax$	二项式
$\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{x}{n}$	$(1+x{)}^a$ 的特例

等价替换的合法性

定理

若 $f\sim f_1$、$g\sim g_1$，且 $\lim \frac{f_1}{g_1}$ 存在，则 $\lim \frac{f}{g}=\lim \frac{f_1}{g_1}$

替换只在乘除结构中成立。因为等价关系是”比值为 $1$“，在乘除中可以直接约掉。

为什么加减中不能替换

${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$

若把 $\tan x$ 换成 $x$、$\sin x$ 换成 $x$，分子变成 $0$，得到极限为 $0$。

但正确答案是 $\frac{1}{2}$。

原因：$\tan x-\sin x$ 的首项是 $\frac{x^3}{2}$，而 $x-x=0$ 把所有项都消掉了。等价替换丢掉了高阶信息，而在减法中高阶项恰恰是主要贡献。

结构	能否替换
乘除	能
加减	不能

加减结构要用泰勒展开：

$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3),\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

相减得 $\frac{x^3}{2}+o(x^3)$，除以 $x^3$ 得 $\frac{1}{2}$。

等价与泰勒展开的关系

等价无穷小就是泰勒展开的首项。

$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots \sim x$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots \sim x$

这解释了两件事：

现象	原因
等价替换在乘除中安全	首项之比为 $1$，高阶项相对可忽略
等价替换在加减中失败	首项相消后，需要更高阶项

替换的顺序

步骤	操作
1	确认是乘除结构
2	找到可替换的因子
3	替换后立即化简
4	若出现加减相消，改用泰勒

识别信号：若替换后分子或分母变成 $0$，说明替换过度，需要保留更高阶项。

常见误区

错误说法	问题
”等价无穷小可以在任何位置替换”	仅乘除结构
”$x$ 与 $\sin x$ 完全相等”	只是等价，差高阶项
"$1-\cos x\sim x^2$"	是 $\frac{1}{2}{x}^2$
“高阶无穷小就是更小的数”	是趋于零更快
”等价替换会改变极限值”	乘除中不改变

引出

为什么等价替换在加减中会失败，而泰勒展开不会？

等价无穷小与渐近展开有什么关系？

无穷小的阶在数值计算中如何影响误差？

• 无穷大的比较：对偶概念
• 泰勒公式：高阶信息的来源
• 特殊极限：等价关系的来源
• 洛必达法则：另一种未定式处理
• 极限的运算法则：计算框架
• 数学分析：数学分析的整体框架