三角函数的复数定义

引入

$\sin 30^{\circ }$ 有定义，$\sin (1+i)$ 是什么？

为什么把三角函数推广到复数后，会出现”模可以大于 $1$“的现象？

双曲函数与三角函数，为什么长得那么像？

正文

定义

利用 欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$，可以把三角函数推广到复数域： $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

这个定义不是人为规定。它由欧拉公式反解得到：

$\{\begin{array}{l}{e}^{iz}=\cos z+i\sin z\\ e^{-iz}=\cos z-i\sin z\end{array}$

两式相减得 $2i\sin z=e^{iz}-e^{-iz}$，相加得 $2\cos z=e^{iz}+e^{-iz}$。

正切

$\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)}$

分母为零时无定义，即 $\cos z=0$ 的点。

当 $z$ 为实数时

若 $z=x\in \mathbb{R}$，代入定义：

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\frac{(\cos x+i\sin x)-(\cos x-i\sin x)}{2i}=\sin x$

回到原来的正弦函数。这说明复定义是实定义的推广，而不是另一个函数。

当 $z$ 为纯虚数时

取 $z=iy$（$y$ 为实数）：

$\sin (iy)=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\cdot \frac{e^y-e^{-y}}{2}=i\sinh y$

$\cos (iy)=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\cosh y$

于是

$|\sin (iy)|=\sinh y,|\cos (iy)|=\cosh y$

这两个值可以任意大。实数域中 $|\sin x|\le 1$，复数域中这个界不再成立。

函数	实数域	复数域
$|\sin z|$	$\le 1$	无上界
零点	$k\pi$	仍是 $k\pi$
周期	$2\pi$	仍是 $2\pi$

零点与周期保持不变，但有界性丢失。这是复推广中最重要的变化。

与双曲函数的关系

$\sin (iy)=i\sinh y,\cos (iy)=\cosh y$

$\sinh (iy)=i\sin y,\cosh (iy)=\cos y$

三角函数	双曲函数
$\sin$	$\sinh$
$\cos$	$\cosh$
$\tan$	$\tanh$

两条曲线只差一个虚数单位。这个对应关系解释了为什么双曲函数的公式与三角函数几乎同构，只是符号有规律地变化。

恒等式	三角	双曲
平方关系	${\sin }^2+{\cos }^2=1$	${\cosh }^2-{\sinh }^2=1$
加法定理	$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$	$\sinh (a+b)=\sinh a\cosh b+\cosh a\sinh b$

注意平方关系的符号相反：一个加一个减。这来自 $i^2=-1$。

复三角函数的性质

性质	说明
解析性	在整个复平面上解析（$\tan$ 除极点外）
周期性	仍为 $2\pi$（$\tan$ 为 $\pi$）
无界性	不再有 $|\sin z|\le 1$
零点	与实数情形相同

“解析”是复变函数中的强条件，比实可导强得多。复三角函数满足这个条件，所以性质非常好。

为什么需要复推广

场合	用途
交流电路	用 $e^{i\omega t}$ 表示正弦信号
信号处理	傅里叶变换的核心
量子力学	波函数是复值函数
微分方程	$y^{\prime \prime }+y=0$ 的解可写成 $e^{ix}$

用复指数代替三角函数，可以把”乘除”变成”指数加减”，大幅简化计算。这是工程中普遍采用复表示的原因。

常见误区

错误说法	问题
”复三角函数是另一套函数”	是实情形的推广
”$|\sin z|\le 1$ 对复数也成立”	不成立
”双曲函数与三角函数无关”	差一个虚数单位
”复三角函数没有周期”	仍有周期
”定义是随意规定的”	由欧拉公式反解得到

引出

为什么复三角函数失去有界性，却保留周期性与零点？

复变函数的”解析”比实可导强在哪里？

双曲函数在哪些实际问题中出现？

• 欧拉公式：定义的基础
• 复数：复数的表示
• 三角恒等式：实数域的对应公式
• 泰勒级数：复三角函数的展开
• 三角函数：三角函数的整体结构
• 数学分析：数学分析的整体框架