复数的三角表示

引入

复数 $a+bi$ 用两个实数表示，那能否像极坐标一样用”距离 + 角度”表示？

为什么复数的乘法在三角形式下变成”模相乘、角相加”？

辐角为什么不唯一？

正文

定义

对于复数 $z=a+bi$，设 $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 为模，$\theta$ 为辐角（与实轴正方向的夹角），则 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ 称为复数的三角形式。

模与辐角

量	定义	几何意义
模 $r$	$\sqrt{a^2+b^2}$	复平面上到原点的距离
辐角 $\theta$	满足 $\cos \theta =\frac{a}{r}$、$\sin \theta =\frac{b}{r}$	与实轴正方向的夹角

由定义直接可得：

$a=r\cos \theta ,b=r\sin \theta$

这就是从代数式到三角式的换算。

辐角的多值性

$\theta =\arctan \frac{b}{a}$

这个公式只在 $a>0$ 时直接给出正确的辐角。完整地说，辐角有无穷多个值，相差 $2k\pi$：

$\mathrm{Arg}z=\theta +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

其中落在 $(-\pi ,\pi ]$ 内的那个称为主值，记作 $\arg z$。

象限	辐角范围
第一	$\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$
第二	$\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$
第三	$\left(-\pi ,-\frac{\pi }{2}\right)$
第四	$\left(-\frac{\pi }{2},0\right)$

直接用 $\arctan \frac{b}{a}$ 会在第二、三象限出错，因为 $\arctan$ 的值域是 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，无法区分 $(a,b)$ 与 $(-a,-b)$。必须结合象限修正。

欧拉表示

由 欧拉公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$，三角形式可写成

$z=r{e}^{i\theta }$

这是指数形式，形式上最简洁。

形式	写法	运算便利性
代数	$a+bi$	加减
三角	$r(\cos \theta +i\sin \theta )$	乘除、乘方
指数	$r{e}^{i\theta }$	乘除、乘方、开方
极坐标	$|z|\angle \phi$	工程表示

乘除的简化

三角形式下：

$z_1{z}_2=r_1{r}_2\left[\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\right]$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left[\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)\right]$

这就是”模相乘、角相加”。在代数形式下，同样的计算需要展开四项并整理，三角形式省去了这个过程。

乘方与开方

$z^n=r^n\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)$

这是棣莫弗定理。

开方有 $n$ 个解：

$w_k=\sqrt[n]{r}\left[\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n}\right],k=0,1,\cdots ,n-1$

为什么有 $n$ 个解？ 因为辐角有 $2k\pi$ 的多值性，除以 $n$ 后得到 $n$ 个不同的角。这些解在复平面上均匀分布在一个半径为 $\sqrt[n]{r}$ 的圆上。

典型换算

复数	模	辐角	三角形式
$1$	$1$	$0$	$\cos 0+i\sin 0$
$i$	$1$	$\frac{\pi }{2}$	$\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$
$-1$	$1$	$\pi$	$\cos \pi +i\sin \pi$
$1+i$	$\sqrt{2}$	$\frac{\pi }{4}$	$\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$
$1-\sqrt{3}i$	$2$	$-\frac{\pi }{3}$	$2\left(\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right)$

最后一个例子在第四象限，用 $\arctan (-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{3}$ 恰好正确；若点在第二象限，需要加 $\pi$。

常见误区

错误说法	问题
”辐角唯一”	相差 $2k\pi$ 都是辐角
”$\theta =\arctan \frac{b}{a}$ 总成立”	第二、三象限需修正
”模可以为负”	模非负
”开方只有一个解”	$n$ 次方有 $n$ 个根
”三角形式不能做加减”	能做，但需先转回代数式

引出

为什么辐角的多值性会导致开方多解？

复数的指数形式与极坐标表示有何本质区别？

棣莫弗定理如何推出三角恒等式？

• 复数：定义与三种表示
• 复数运算：四则运算
• 欧拉公式：指数形式的来源
• 三角恒等式：棣莫弗定理的应用
• 坐标变换：极坐标视角
• 数学分析：数学分析的整体框架