定积分

引入

矩形的面积会算，曲线围成的面积怎么算？

“分割、近似、求和、取极限”这四步，为什么能给出精确值而不是近似值？

定积分是一个数，这个数为什么能表示面积？

正文

定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，第 $i$ 个长度为 $\Delta x_i$，在每段上任取 ${\xi }_i$，作和 $S_n={\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$ 若当最大区间长度 $\lambda \to 0$ 时，$S_n$ 的极限存在且与分法、取点方式无关，则称此极限为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分： ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$

四个步骤

步骤	操作	对应符号
分割	把 $[a,b]$ 分成 $n$ 段	$\Delta x_i$
近似	每段用矩形代替曲边梯形	$f({\xi }_i)\Delta x_i$
求和	累加所有矩形面积	$\sum$
取极限	让最大段长趋于零	$\underset{\lambda \to 0}{\lim }$

关键在第四步：不是让 $n\to \infty$，而是让最大区间长度 $\lambda \to 0$。因为 $n\to \infty$ 时仍可能有一段长度不趋于零（比如把 $[0,1]$ 分成 $n$ 段但第一段始终是 $\frac{1}{2}$）。

可积的条件

条件	说明
充分条件	$f$ 在 $[a,b]$ 上连续
充分条件	$f$ 在 $[a,b]$ 上有界且只有有限个间断点
必要条件	$f$ 在 $[a,b]$ 上有界

有界是必要条件，因为无界函数在某个小区间上的取值可以任意大，和式无界。

几何意义

当 $f(x)\ge 0$ 时，${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 等于曲边梯形的面积。

情形	几何意义
$f(x)\ge 0$	面积
$f(x)\le 0$	面积的负值
$f$ 变号	上方面积减下方面积

定积分是”代数面积”，不是绝对面积。要算总面积的绝对值，需要分段积分或对 $|f|$ 积分。

与不定积分的区别

项目	不定积分	定积分
结果	函数族 $F(x)+C$	一个数
依赖	只依赖被积函数	还依赖上下限
计算	求原函数	用牛顿-莱布尼茨公式

两者的连接是 微积分基本公式，这是整个微积分的核心结论。

定积分的性质（简述）

性质	式子
线性	$\int (\alpha f+\beta g)=\alpha \int f+\beta \int g$
区间可加	${\int }_a^b={\int }_a^c+{\int }_c^b$
反向	${\int }_a^b=-{\int }_b^a$
保号	$f\ge 0\Rightarrow {\int }_a^{b}f\ge 0$

详见 定积分性质。

用定义计算

以 ${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x$ 为例，等分 $[0,1]$ 为 $n$ 段，取右端点：

$S_n={\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

取极限：

${\lim }_{n\to \infty }\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

用定义计算非常繁琐，这正是需要微积分基本公式的原因。

与不定积分的关系

若 $F$ 是 $f$ 的原函数，则

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$

定积分与不定积分共享同一个记号 $\int$，但含义不同：前者是极限，后者是原函数族。记号相同是因为它们被同一条定理连接。

常见误区

错误说法	问题
”定积分就是面积”	是代数面积，可能为负
”取极限是 $n\to \infty$“	是最大段长 $\lambda \to 0$
“任意函数都可积”	需有界，且不能振荡太剧烈
”定积分与分法有关”	极限值与分法无关
”定积分结果要加 $C$“	定积分是数

引出

为什么”最大段长趋于零”比”段数趋于无穷”更强？

有界但振荡剧烈的函数一定不可积吗？

定积分能否用来定义新的函数？

• 定积分性质：运算性质
• 微积分基本公式：如何实际计算
• 不定积分：原函数
• 函数的极限：极限的语言
• 夹逼准则：用定义计算时的工具
• 数学分析：数学分析的整体框架