夹逼准则

引入

要求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}$，$\sin n$ 没有极限，那整个式子有极限吗？

“夹逼”这个名字过于接地气，但它到底是什么数学操作？

为什么被夹的两个函数必须趋于同一个值？

正文

定理

若在某去心邻域内（或当 $|x|>M$ 时）有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ 且 $\lim g(x)=\lim h(x)=A$ 则 $\lim f(x)=A$

数列形式：若存在 $N$，当 $n>N$ 时 $a_n\le b_n\le c_n$，且 $\lim a_n=\lim c_n=A$，则 $\lim b_n=A$。

三个条件

条件	作用	缺失后果
双向不等式	确定 $f$ 的范围	无法夹住
两端极限存在	给出夹逼的目标值	无从比较
两端极限相等	唯一确定 $f$ 的极限	只能得到范围

第三条最关键：若两端极限不同，只能推出 $\lim f$ 落在两者之间（若存在），不能确定具体值。

为什么成立

从 $\epsilon$ 定义看：$\lim g=A$ 意味着当 $x$ 足够靠近时，$|g(x)-A|<\epsilon$，即 $A-\epsilon <g(x)<A+\epsilon$。同理 $A-\epsilon <h(x)<A+\epsilon$。

由 $g\le f\le h$ 得

$A-\epsilon <g(x)\le f(x)\le h(x)<A+\epsilon$

故 $|f(x)-A|<\epsilon$，即 $\lim f=A$。

几何直观：$f$ 的图像被夹在两条都趋于 $A$ 的曲线之间，只能跟着趋于 $A$。

典型应用

振荡函数

$\left|\frac{\sin n}{n}\right|\le \frac{1}{n}\to 0\Rightarrow {\lim }_{n\to \infty }\frac{\sin n}{n}=0$

关键在于有界函数乘无穷小仍是无穷小，这是夹逼准则的常见变形。

求和型极限

${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$

共 $n$ 项，每项介于 $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$ 与 $\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ 之间，故

$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le S_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$

两端都趋于 $1$，所以 $S_n\to 1$。

求和型的关键是”放大缩小到可求和的统一形式”。若把每项都放大成最大项、缩小成最小项后项数不变，就能夹住。

证明重要极限

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ 的证明用的就是夹逼准则，详见 特殊极限。

放缩的技巧

技巧	说明
找最大项与最小项	求和型最常用
利用有界性	$|\sin x|\le 1$
利用不等式	均值不等式、伯努利不等式
分段放缩	不同区间用不同界

放缩要”两边都收敛到同一个值”。若放大后趋于 $1$、缩小后趋于 $0$，夹逼失效，说明放缩太松。

与其他准则的对比

准则	适用	特点
夹逼准则	无法直接求的极限	需要构造上下界
单调有界准则	递推数列	先证单调有界，再求极限
洛必达法则	未定式	需要可导

递推数列的极限常用”单调有界准则”，而不是夹逼。夹逼需要预先知道极限值，而单调有界不需要。

常见误区

错误说法	问题
”两端极限不同也能用”	只能用来说明有界，不能定值
”夹逼只能用于数列”	函数极限同样适用
”放缩越紧越好”	关键是两端能算出同一个值
”有界函数一定有极限”	如 $\sin n$ 无极限
”夹逼可以求出极限值”	它只验证猜测值，值需先猜出

引出

为什么夹逼准则不能”求出”极限，只能”验证”极限？

单调有界准则与夹逼准则能互相推出吗？

求和型极限能否用定积分定义来计算？

• 特殊极限：夹逼的典型应用
• 数列的极限：数列形式
• 函数的极限：函数形式
• 极限的运算法则：其他计算手段
• 定积分：求和型极限的另一种处理
• 数学分析：数学分析的整体框架