单侧导数

引入

$y=|x|$ 在 $x=0$ 处有”导数”吗？为什么从左边看斜率是 $-1$，从右边看是 $1$？

判断分段函数在分段点是否可导，为什么必须分别算左右？

一个函数在某点可导，等价于左右导数存在且相等——这句话为什么是定理而不是定义？

正文

定义

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左侧邻域内有定义，若 $f_{-}^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 存在，称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左导数。同理定义右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

可导的充要条件

定理

$f^{\prime }(x_0)$ 存在 $\iff$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右导数都存在且相等。

$f^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$

为什么是”且相等”而不是”都存在”？ 因为导数的定义是一个双侧极限。双侧极限存在的充要条件是两个单侧极限存在且相等，这正是极限理论中的基本结论。

分段函数的可导性判断

步骤	操作
1	先用连续性检验：不连续必不可导
2	分别求左右导数
3	比较是否相等

连续性检验优先的原因：若分段点不连续，可导性直接判定为否，不必再算导数。

以 $f(x)=|x|$ 为例：

项目	左	右
导数	$-1$	$1$
结论	不等，不可导

再以 $f(x)=x|x|$ 为例：

项目	左	右
导数	$0$	$0$
结论	相等，可导，$f^{\prime }(0)=0$

两个函数的图像都”经过原点”，但一个可导、一个不可导。差别在于两侧的斜率是否趋于同一个值。

与连续性的关系

情形	左右极限	左右导数	结论
光滑	相等	相等	可导
尖点	相等	不等	不可导但连续
跳跃	不等	至少一侧不存在	不连续

尖点是”连续但不可导”的典型，跳跃是”不连续”的典型。

闭区间上的可导性

若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，且在 $a$ 处右导数存在、在 $b$ 处左导数存在，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导。

这个约定在 微分中值定理 中很重要：罗尔定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导，端点只要求单侧连续。

应用：判断绝对值函数

$f(x)=|g(x)|$ 在 $g(x_0)=0$ 处的可导性：

条件	结论
$g^{\prime }(x_0)\ne 0$	不可导（尖点）
$g^{\prime }(x_0)=0$	可能可导，需进一步判断

例如 $|x^3|$ 在 $0$ 处可导且导数为 $0$，因为 $x^3$ 在 $0$ 处的切线是水平的，取绝对值不产生尖点。

常见误区

错误说法	问题
”左右导数都存在就可导”	还需相等
”连续就可导”	尖点是反例
”分段函数在分段点一定不可导”	可能可导，如 $x|x|$
“左导数就是把 $\Delta x$ 取负”	是取左极限，不是取负值
”闭区间上可导要求在端点双侧可导”	只需单侧

引出

为什么双侧极限存在的充要条件是左右极限存在且相等？

有没有函数在某点连续但左右导数都不存在？

单侧导数在数值方法中有什么对应物？

• 导数：导数的定义
• 函数的连续性：连续与间断点
• 导数的运算法则：分段函数的求导
• 微分中值定理：区间端点条件
• 数学分析：数学分析的整体框架