微分中值定理

引入

一辆车从 $A$ 到 $B$，平均速度 $60km/h$。有没有某一刻，仪表盘恰好显示 $60$？

为什么”存在某点导数为零”这件事需要三个条件（连续、可导、端点相等）？

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理，为什么说它们其实是同一个定理？

正文

罗尔定理

若 $f(x)$ 满足：

1. 在 $[a,b]$ 上连续；
2. 在 $(a,b)$ 内可导；
3. $f(a)=f(b)$； 则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$。

三个条件的作用

条件	缺失后的反例	作用
闭区间连续	阶跃函数	保证能取到最值
开区间可导	$|x|$ 在 $[-1,1]$	保证内部有导数
端点相等	$f(x)=x$ 在 $[0,1]$	保证最值在内部取到

第三条的必要性最直观：若 $f(a)\ne f(b)$，单调函数在端点取最值，内部没有水平切线。

证明思路

因为 $f$ 在闭区间上连续，由最值定理，$f$ 必取得最大值 $M$ 和最小值 $m$。

情形	结论
$M=m$	$f$ 为常数，$f^{\prime }(x)=0$ 处处成立
$M>m$	由于 $f(a)=f(b)$，至少一个最值在内部取得

在内部取得最值的点，由费马引理，导数为零。

拉格朗日中值定理

定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，则至少存在 $\xi \in (a,b)$，使 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

几何意义：曲线上至少有一点的切线平行于连接两端点的弦。

物理意义：平均速度必在某一瞬间被取到。

从罗尔到拉格朗日

构造辅助函数

$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

则 $F(a)=F(b)=0$，对 $F$ 用罗尔定理即得。这个构造的本质是”把倾斜的弦拉平”。

柯西中值定理

定理

若 $f$、$g$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使 $\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

取 $g(x)=x$，退化为拉格朗日中值定理。所以柯西定理是拉格朗日的推广。

三个定理的关系

罗尔定理（端点相等，导数为零）
    ↓ 构造辅助函数
拉格朗日（任意端点，导数等于弦斜率）
    ↓ 参数化
柯西定理（两个函数之比）

记忆要点：罗尔是特例，拉格朗日是一般形式，柯西是参数形式。三者逻辑等价。

常用推论

推论	内容
导数为零	$f^{\prime }(x)=0$ 在区间上恒成立 $\Rightarrow$ $f$ 为常数
导数同号	$f^{\prime }(x)>0$ $\Rightarrow$ $f$ 严格递增
导数有界	$|f^{\prime }(x)|\le M$ $\Rightarrow$ $|f(b)-f(a)|\le M(b-a)$
导数相等	两函数导数相同 $\Rightarrow$ 相差常数

第二个推论是单调性判别的理论基础：教材中直接使用”导数正负判断单调”，其依据就是拉格朗日中值定理。

应用举例

证明不等式：要证 $f(b)>f(a)$，只需证 $f^{\prime }(x)>0$。

估计误差：由 $|f(b)-f(a)|=|f^{\prime }(\xi )|(b-a)\le M(b-a)$，可以得到函数值变化的界。

证明方程有根：若 $f(a)=f(b)$，则 $f^{\prime }(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内有根。

常见误区

错误说法	问题
”中值定理给出 $\xi$ 的具体位置”	只保证存在，不给出位置
”罗尔定理不需要端点相等”	端点相等是核心条件
”拉格朗日定理要求 $f(a)=f(b)$“	不要求
”柯西定理中 $g^{\prime }$ 可以为零”	必须 $g^{\prime }(x)\ne 0$
”$\xi$ 可以取端点”	必须在开区间内部

引出

中值定理只保证存在，为什么这样的”存在性”就足够有用？

如果函数在开区间内不可导，中值定理还能用吗？

泰勒公式为什么被称为”高阶版的中值定理”？

• 导数：导数的定义
• 泰勒公式：中值定理的高阶推广
• 洛必达法则：以柯西定理为基础
• 函数的极值：费马引理的应用
• 函数的凹凸性：二阶导数的中值形式
• 数学分析：数学分析的整体框架