坐标变换

引入

解 $\int \frac{1}{1+\sqrt{x}}\mathrm{d}x$ 时，令 $t=\sqrt{x}$ 就把根号消掉了。这一步到底改变了什么？

为什么同一个点，在直角坐标系里是 $(1,1)$，在极坐标系里是 $\left(\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$？哪个才是它”真正”的坐标？

平移、旋转、缩放，这三种操作能否用同一个式子表达？

正文

定义

坐标变换是建立两个坐标系之间的对应关系，把一个坐标系中的坐标换算为另一个坐标系中的坐标。在代数中，它表现为换元：用新变量替换旧变量。

换元的本质

设 $x=\phi (t)$，其中 $\phi$ 单调可导且 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$，则 $\phi$ 建立了 $x$ 与 $t$ 之间的一一对应。原来的表达式 $f(x)$ 变成 $f(\phi (t))$。

层面	变化
变量	$x$ 换成 $t$
定义域	由 $x$ 的范围换算出 $t$ 的范围
微分	$\mathrm{d}x={\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$
表达式	$f(x)\mathrm{d}x$ 变为 $f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

关键在第三行：换元不只是替换字母，还要替换微分。漏掉 ${\phi }^{\prime }(t)$ 是换元积分最常见的错误。

换元的三种动机

动机	例子	效果
消去根号	$t=\sqrt{x}$	把无理式变成有理式
降次	$t=x^2$	把四次式变成二次式
化为标准形	$x=a\sin \theta$	利用三角恒等式化简

“化为标准形”是最高效的动机：一旦化成已知形式，就能直接套公式，不必重新推导。

平面坐标系的变换

平移

把原点从 $(0,0)$ 移到 $(a,b)$：

$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }+a\\ y=y^{\prime }+b\end{array}$

平移只改变原点位置，不改变坐标轴方向。它的作用是把图形的中心移到原点，从而消去一次项。

旋转

把坐标轴绕原点旋转角 $\theta$：

$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }\cos \theta -y^{\prime }\sin \theta \\ y=x^{\prime }\sin \theta +y^{\prime }\cos \theta \end{array}$

旋转不改变长度和角度，所以它保持圆仍是圆，但会把椭圆”摆正”或”摆斜”。

伸缩

$\{\begin{array}{l}x=a{x}^{\prime }\\ y=b{y}^{\prime }\end{array}$

伸缩改变长度比例。圆 $x^2+y^2=r^2$ 经伸缩 $x=au$、$y=bv$ 后变成椭圆 $\frac{u^2}{(r/a{)}^2}+\frac{v^2}{(r/b{)}^2}=1$。

这说明椭圆就是圆的伸缩像，这也是椭圆面积公式 $\pi ab$ 的来源：圆面积 $\pi r^2$ 乘以伸缩比例 $ab/r^2$。

极坐标与直角坐标

$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}\{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \tan \theta =\frac{y}{x}\end{array}$

曲线	直角坐标	极坐标
圆 $x^2+y^2=a^2$	$x^2+y^2=a^2$	$r=a$
过原点的直线	$y=kx$	$\theta =\arctan k$
心形线	复杂	$r=a(1+\cos \theta )$
阿基米德螺线	无法表示	$r=a\theta$

极坐标的价值：具有旋转对称性的曲线，在极坐标下方程极简。直角坐标适合平移对称，极坐标适合旋转对称。

换元在积分中的应用

$\int f(x)\mathrm{d}x\stackrel{x=\phi (t)}{\to }\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

定积分换元时，上下限也要跟着换：

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

其中 $\phi (\alpha )=a$、$\phi (\beta )=b$。

变换下的不变量

变换	保持不变的量
平移	长度、角度、面积
旋转	长度、角度、面积
伸缩	角度、形状（相似）
仿射	平行性、面积比
一般换元	无（除了一一对应性）

“不变量”是判断变换类型的关键：如果某个量在变换后不变，说明变换属于对应的类型。这个思想在向量与线性代数中会系统展开。

常见误区

错误说法	问题
”换元只是换个字母”	还要换微分和定义域
”定积分换元后不用改上下限”	必须改，或回代后再代
”极坐标能表示所有曲线更简单”	平移对称的曲线反而更复杂
”坐标变换改变了图形”	图形不变，只是描述方式变了
”伸缩保持面积”	面积按比例 $ab$ 变化

引出

为什么平移和旋转保持长度，而伸缩不保持？

换元法的合法性为什么要求 $\phi$ 单调且导数不为零？

线性代数中的基变换与坐标变换是同一件事吗？

• 数形结合：表示之间的切换
• 向量：基底与坐标
• 不定积分运算法则：换元积分法
• 椭圆：圆经伸缩得到
• 复数的三角表示：极坐标的复数版本
• 数学：数学学科入口