区间

引入

区间可以看作是一种特殊的集合，它默认在实数上使用，因实数具有连续性，我们可以用简洁的数学符号来表示.

区间原来也是可以进行运算的！

正文

定义

一种集合，表示两个实数间所有的实数，可包含或不包含这两个实数，对应开区间和闭区间.

数学表示

开区间： $(a,b)=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b\}$
半开半闭区间：$[a,b)=\{x\in \mathbb{R}:a\le x<b\}$
闭区间：$[a,b]=\{x\in \mathbb{R}|a\le x\le b\}$
无穷区间（因为无限大，所以带有无穷符号的一边为开区间）：$(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}$

区间计算

区间支持基本的四则运算：
$[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]$
$[a,b]-[c,d]=[a-c,b-d]$
$[a,b]\times [c,d]=[\min \{ac,ad,bc,bd\},\max \{ac,ad,bc,bd\}]$
$\frac{[a,b]}{[c,d]}=[\min \{\frac{a}{c},\frac{a}{d}.\frac{b}{c}.\frac{b}{d}\},\max \{\frac{a}{c},\frac{a}{d}.\frac{b}{c}.\frac{b}{d}\}]$

邻域

定义

设一实数 $a$，一正数 $\delta$，则数集 $(a,\delta )=\{a-\delta ,a+\delta \}$ 称为邻域，实数 $a$ 称为邻域的中心，$\delta$ 称为邻域的半径.邻域服务于函数的极限定义——邻域的来历

邻域的概念同样可以扩展到二维平面、三维空间中。

数学表示

邻域默认为开区间： $U(a,\delta )$
去心邻域,即不包括中心点 $a$ ：$U_0(a,\delta )$

引出

在一些国家，使用 $]a,b[$ 表示开区间，我认为这样表示减少了符号的使用，也更直观感受到开和闭的区别.