不确定性原理

引入

为什么电子不会掉进原子核？

不确定性原理是因为“测量会干扰被测对象”吗？

为什么分子在绝对零度仍在振动？

经典力学中，粒子的位置和动量可以同时精确测定。微观粒子具有波粒二象性，这种精确同时测定是否还可能？1927 年海森堡给出了否定的回答。

正文

定义

不确定性原理指出：不可能同时精确确定一个粒子的位置和动量。这是微观粒子的内在性质，不是测量技术的限制。

数学表达

位置-动量不确定性关系：

$$\Delta x\cdot \Delta p_x\ge \frac{\hslash }{2}$$

能量-时间不确定性关系：

$$\Delta E\cdot \Delta t\ge \frac{\hslash }{2}$$

其中 $\hslash =h/(2\pi )$，$h$ 为普朗克常数。

数量级估算

以电子为例，若把位置限制在原子尺度 $\Delta x\approx 10^{-10}\mathrm{m}$：

$$\Delta p\ge \frac{\hslash }{2\Delta x}\approx 5\times 10^{-25}\mathrm{kg}\cdot m/s$$

对应速度不确定度：

$$\Delta v=\frac{\Delta p}{m_e}\approx 6\times 10^{5}m/s$$

这个速度量级与电子在原子中的典型速度相当，说明位置越确定，动量越无法确定。

为什么不是测量干扰

常见的误解是“测量一个量会干扰另一个量”。这个说法在早期被海森堡本人使用过，但它不是根本原因。

不确定性原理的根源在于波函数本身的性质：

图像	解释
波包	位置高度确定 = 窄波包
傅里叶变换	窄波包必然包含很宽的动量成分
数学	$\Delta x$ 与 $\Delta p$ 是傅里叶共轭量，乘积有下界

这是波动的普遍性质，与是否测量无关。声波、水波也有类似的带宽-时长关系。

物理意义

不确定性原理打破了经典“轨道”的概念。电子在原子中没有确定轨道，只有概率分布（电子云）。

为什么电子不会坠入原子核

如果电子被束缚在极小的空间内，$\Delta x$ 很小，则 $\Delta p$ 很大，动能

$$E_k=\frac{p^2}{2m}\approx \frac{(\Delta p{)}^2}{2m}$$

急剧增大。把电子压向核时，动能增加的速度快于库仑势能降低的速度，所以存在一个能量最低的平衡距离——这就是原子尺度的来源。

这种由不确定性带来的“抵抗压缩”的效应，常被称为量子压力。

零点能

谐振子的最低能量不是零，而是

$$E_0=\frac{1}{2}h\nu$$

原因相同：完全静止意味着位置和动量都完全确定，违反不确定性原理。所以分子在绝对零度仍在振动，这是分子光谱中零点能的物理来源。

量子限域效应

把粒子限制在纳米尺度（$\Delta x$ 小），动量不确定度增大，动能升高，能级间距变大。这就是量子点的发光波长随尺寸变化的原因：颗粒越小，带隙越大，发光越偏蓝。

与经典世界的衔接

不确定性原理对所有物体都成立，只是宏观物体的 $\hslash$ 相对其尺度可以忽略：

对象	$\Delta x$	由此产生的 $\Delta v$
电子（原子尺度）	$10^{-10}\mathrm{m}$	$\sim 10^{5}m/s$
尘埃（$10^{-6}\mathrm{kg}$）	$10^{-6}\mathrm{m}$	$\sim 10^{-19}m/s$
棒球（$0.15\mathrm{kg}$）	$10^{-10}\mathrm{m}$	$\sim 10^{-24}m/s$

宏观物体的动量不确定度小到无法测量，所以经典描述成立。

常见误区

错误说法	问题
“不确定性是仪器精度不够”	是原理性的，不是技术问题
“测量干扰是根本原因”	只是表象，根源是波函数的傅里叶性质
“不确定性原理说明什么都测不准”	只约束共轭量对，单量可以很精确
“宏观世界不适用”	适用，只是效应可忽略

引出

不确定性原理也限制了分子振动的最低能量（零点能），这与分子光谱中红外吸收的观测直接相关。

量子数给出了量子系统允许的状态，它们从何而来？答案在薛定谔方程的边界条件。

能量-时间不确定性关系如何解释激发态的有限寿命和谱线宽度？