空间向量

引入

立体几何的证明要”作辅助线、找交线、平移求角”，能否绕开这些技巧，直接算？

为什么求二面角时，用两个法向量的夹角就能得到答案？

空间向量和平面向量，除了多一个分量，有什么本质区别？

空间向量把立体几何的推理问题转化为代数计算。它的代价是需要建系，收益是——只要坐标写对，过程几乎是机械的。

正文

定义

空间向量是空间中既有大小又有方向的量，用有向线段表示。与平面向量一样，它可以平移，只由大小和方向确定，与起点无关。

坐标表示

在空间直角坐标系 $O\text{-}xyz$ 中，以 $\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$ 为坐标向量，则

$\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}=(a_1,a_2,a_3)$

运算	坐标形式
加法	$(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$
数乘	$(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$
数量积	$a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$
模	$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
平行	$\vec{a}=\lambda \vec{b}$，即坐标成比例
垂直	$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$

空间向量基本定理

定理

若三个向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 不共面，则对空间中任一向量 $\vec{p}$，存在唯一的有序实数组 $(x,y,z)$，使 $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$

这与平面向量的基本定理同构：平面需要两个不共线的基底，空间需要三个不共面的基底。基底的数量等于空间的维数，这是线性代数中”维数”概念的雏形。

建系与求法向量

用向量解立体几何，第一步是建系。

步骤	做法
1	找三条两两垂直的直线（常用墙角、正方体棱）
2	确定原点与三个坐标轴方向
3	写出各点坐标
4	求出所需向量

法向量是与平面垂直的非零向量。

定义

若 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ 且 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0$（$A$、$B$、$C$ 为平面内不共线三点），则 $\vec{n}$ 是该平面的法向量。

求法：设 $\vec{n}=(x,y,z)$，列出两个方程，取一组非零解。由于法向量可以任意伸缩，通常取整数解。

用向量求三种角

所求	公式	注意
异面直线所成角 $\theta$	$\cos \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$	加绝对值，取锐角
线面角 $\theta$	$\sin \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}$	用 $\sin$，因为 $\vec{n}$ 与线垂直
二面角 $\theta$	$\cos \theta =\pm \frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$	符号需根据图形判断

线面角为什么用 $\sin$？ 因为法向量与平面垂直，直线与法向量的夹角 $\alpha$ 与线面角 $\theta$ 满足 $\theta +\alpha =90^{\circ }$，所以 $\sin \theta =\cos \alpha$。

二面角的符号为什么要判断？ 两个法向量的夹角可能是二面角本身，也可能是它的补角，取决于法向量的朝向。判断方法是观察二面角在图中是锐角还是钝角。

用向量求距离

类型	公式
点到平面距离	$d=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$
异面直线距离	两线方向向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$，连线向量 $\overrightarrow{AB}$，$d=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot (\vec{a}\times \vec{b})|}{|\vec{a}\times \vec{b}|}$
两点距离	$|\overrightarrow{AB}|$

点到平面距离的公式本质是投影：把 $\overrightarrow{AP}$ 投影到法向量方向上，得到的就是到平面的垂直距离。

向量法与综合法对比

维度	综合法	向量法
思维难度	高，需要构造	低，流程固定
计算量	小	大，易算错
适用图形	规则图形	有坐标系即可
证明能力	强	弱，长于计算

选择原则：证明平行垂直关系用综合法更简洁；求角、求距离且坐标易写时用向量法。

常见误区

错误说法	问题
”线面角用 $\cos$ 计算”	用 $\sin$，因为参照的是法向量
”二面角等于法向量夹角”	可能互补，需判断
”法向量唯一”	任意非零倍数都是法向量
”空间向量必须有三个分量”	维数取决于空间，$n$ 维需 $n$ 个基底
”异面直线所成角直接用 $\vec{a}\cdot \vec{b}$“	需加绝对值

引出

为什么二面角需要判断符号，而线面角不需要？

叉积只存在于三维空间，更高维的”垂直”如何表示？

空间向量与线性代数中的向量空间是同一个概念吗？

• 立体几何：空间位置关系
• 空间点、直线、平面之间的位置关系：向量法的几何对象
• 向量：向量的一般理论
• 简单几何体表面积、体积：几何体的度量
• 几何：几何分支的目录
• 数学：数学学科入口