洛必达法则

引入

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$ 为什么不能直接代入？代入得到 $\frac{0}{0}$，这个结果本身没有信息。

为什么有的题用洛必达一次就出结果，有的题越用越复杂？

洛必达法则在什么情况下会失效，甚至给出错误答案？

极限计算的第一步永远是代入。代入后出现 $\frac{0}{0}$、$\frac{\infty }{\infty }$ 这类”形式无意义”的结果时，才需要变形。洛必达法则是变形手段之一，但它有明确的使用前提。

正文

定义

设 $f(x)$、$g(x)$ 在点 $a$ 的某去心邻域内可导，$g^{\prime }(x)\ne 0$，且 ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}g(x)=0\text{或}{\lim }_{x\to a}|f(x)|={\lim }_{x\to a}|g(x)|=\infty$ 若 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在（或为 $\infty$），则 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

法则的本质是把”两个函数之比的极限”转化为”两个导数之比的极限”。它能成立，靠的是柯西中值定理：在 $a$ 附近，$f$ 与 $g$ 的增量之比可以替换为某点的导数之比。

三个条件

条件	内容	缺失后果
类型	必须是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$	直接套用会得到错误结果
可导	去心邻域内可导，$g^{\prime }(x)\ne 0$	导数比可能不存在
极限存在	$\lim \frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ 存在或为 $\infty$	只能说明此法失效，不能说明原极限不存在

第三条最容易被误用：导数比的极限不存在，原极限仍可能存在。

反例

取 $f(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$，$g(x)=x$，当 $x\to 0$ 时两者都趋于 $0$。 原极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2\sin (1/x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0$。 但导数比为 $\frac{2x\sin (1/x)-\cos (1/x)}{1}$，当 $x\to 0$ 时振荡无极限。 此时洛必达法则不适用，不能据此断言原极限不存在。

五种未定式的转化

洛必达只直接处理两种类型，其余类型要先化归。

类型	转化方式
$\frac{0}{0}$	直接使用
$\frac{\infty }{\infty }$	直接使用
$0\cdot \infty$	写成 $\frac{f}{1/g}$ 或 $\frac{g}{1/f}$
$\infty -\infty$	通分、有理化，化为分式
$1^{\infty }$、$0^0$、${\infty }^0$	取对数化为 $0\cdot \infty$

取对数的依据是连续性：

$\lim f^g=\exp \left(\lim g\ln f\right)$

使用顺序

实际计算中，洛必达不该是第一选择。

优先顺序	手段	理由
1	直接代入	连续点一步得答案
2	等价无穷小替换	乘除结构中极快
3	因式分解、有理化	消去零因子
4	洛必达	前几招无效时
5	泰勒展开	高阶抵消、多次求导后仍为未定式

多次使用洛必达时，每次都要重新检验类型。若某一步已不是未定式，必须停下。

与等价无穷小的配合

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x^3}$ 若直接用洛必达，要连求三次。改用泰勒：$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，立刻得 $\frac{1}{3}$。

一般原则：乘除因子用等价无穷小替换，加减结构用泰勒展开，洛必达适合结构简单的一次求导。

常见误区

错误说法	问题
”只要是 $\frac{0}{0}$ 就能用”	还需可导、$g^{\prime }\ne 0$、导数比极限存在
”导数比无极限说明原极限不存在”	只能说明法则失效
”可以反复用到出结果为止”	每步都要重新检验类型
”等价无穷小可以在加减中随意替换”	加减中替换会丢失高阶项
”洛必达能处理数列极限”	需先转为连续变量，用海涅定理

引出

为什么导数比无极限时原极限仍可能存在？柯西中值定理在这里缺了什么？

泰勒展开为什么能替代多次洛必达？

洛必达法则能否推广到多元函数的极限？

• 无穷小的比较：等价替换的依据
• 无穷大的比较：$\frac{\infty }{\infty }$ 型的另一条思路
• 极限的运算法则：未定式的分类框架
• 微分中值定理：洛必达法则的理论来源
• 泰勒公式：高阶抵消的计算工具
• 数学分析：数学分析的整体框架