函数的凹凸性

引入

$y=x^2$ 和 $y=\sqrt{x}$ 都是”上升”的曲线，为什么一个越来越陡、一个越来越缓？

为什么二阶导数的符号能判断凹凸性？它到底在度量什么？

拐点处的二阶导数一定等于零吗？

正文

定义

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，若对 $I$ 内任意两点 $x_1<x_2$，曲线段总在连接两点的弦的下方，则称曲线在 $I$ 上是凹的（凹向上、下凸）；若总在弦的上方，则称凸的（凹向下、上凸）。

判别法

定理

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导：

• 若 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则曲线在 $I$ 上是凹的（开口向上）
• 若 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则曲线在 $I$ 上是凸的（开口向下）

为什么二阶导数能判断？ 二阶导数是”斜率的变化率”：

二阶导数	斜率的变化	形状
$>0$	斜率递增	越来越陡（或越来越缓的下降），开口向上
$<0$	斜率递减	越来越缓（或越来越陡的下降），开口向下
$=0$	斜率不变	直线

几何直观

以 $y=x^2$ 为例，$y^{\prime \prime }=2>0$，开口向上；斜率为 $2x$，随 $x$ 增大而增大。

以 $y=-x^2$ 为例，$y^{\prime \prime }=-2<0$，开口向下；斜率为 $-2x$，随 $x$ 增大而减小。

注意术语的混乱：中文教材中”凹凸性”的命名并不统一。有的把开口向上叫”凹”，有的叫”凸”。做题时应以”$f^{\prime \prime }>0$ 开口向上”为准，不要依赖名称。

拐点

定义

连续曲线上凹与凸的分界点称为拐点。

判断条件	说明
必要条件	$f^{\prime \prime }(x_0)=0$ 或 $f^{\prime \prime }(x_0)$ 不存在
充分条件	$f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x_0$ 两侧变号

"$f^{\prime \prime }(x_0)=0$"不是充分条件。例如 $y=x^4$，$y^{\prime \prime }=12x^2$，在 $x=0$ 处为 $0$，但两侧都是正的，曲线始终开口向上，$x=0$ 不是拐点。

判断拐点必须检验变号，这是最容易出错的地方。

与极值的对照

项目	极值	拐点
依据	一阶导数	二阶导数
必要条件	$f^{\prime }(x_0)=0$ 或不存在	$f^{\prime \prime }(x_0)=0$ 或不存在
充分条件	$f^{\prime }$ 变号	$f^{\prime \prime }$ 变号
几何意义	局部最高/最低	弯曲方向改变

两者结构完全同构：都是”必要条件 + 变号”。

二阶导数判别极值

$f^{\prime }(x_0)$	$f^{\prime \prime }(x_0)$	结论
$0$	$>0$	极小值
$0$	$<0$	极大值
$0$	$=0$	失效，需用一阶判别

第三行是陷阱：$f^{\prime \prime }(x_0)=0$ 时无法判断，例如 $y=x^4$ 在 $0$ 处是极小值，$y=x^3$ 在 $0$ 处不是极值。

常见函数示例

函数	$f^{\prime \prime }(x)$	凹凸性	拐点
$x^2$	$2>0$	全区间凹	无
$x^3$	$6x$	$x<0$ 凸，$x>0$ 凹	$(0,0)$
$\sin x$	$-\sin x$	周期性变化	$k\pi$
$\ln x$	$-\frac{1}{x^2}<0$	全区间凸	无
$e^{-x^2}$	变号	两侧凸，中间凹	$x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

常见误区

错误说法	问题
”$f^{\prime \prime }(x_0)=0$ 就是拐点”	需检验两侧变号
”凹函数就是开口向下”	命名混乱，看 $f^{\prime \prime }$ 符号
”拐点处一阶导数必为零”	不必，如 $y=x^3+x$ 的拐点处 $y^{\prime }=1$
”$f^{\prime \prime }=0$ 时极值判别失效，说明无极值”	需用一阶判别
”凹凸性与单调性有关”	是两个独立的性质

引出

为什么 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ 不能保证拐点？还需要什么条件？

凹凸性在不等式证明中如何应用？

多元函数的”凹凸性”如何定义？

• 导数：一阶与二阶导数
• 函数的极值：一阶判别与二阶判别
• 微分中值定理：凹凸性的定理来源
• 泰勒公式：二阶项符号与凹凸性
• 数学分析：数学分析的整体框架