特殊极限

引入

为什么 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$？分子分母都趋于 $0$，比值为什么会是 $1$ 而不是 $0$ 或无穷？

为什么 ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ 的极限是 $e$，而不是 $1$ 或无穷？

这两个极限为什么被称为”特殊”？

正文

定义（第一重要极限）

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

这个极限是三角函数与微积分的连接点。有了它，$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ 才能成立。

为什么等于 $1$

用单位圆和夹逼准则证明。设 $0<x<\frac{\pi }{2}$，在单位圆中比较三个面积：

图形	面积
三角形 $OAP$	$\frac{1}{2}\sin x$
扇形 $OAP$	$\frac{1}{2}x$
三角形 $OAT$	$\frac{1}{2}\tan x$

由面积关系 $\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x$，同除以 $\frac{1}{2}\sin x$ 得

$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$

当 $x\to 0^{+}$ 时 $\cos x\to 1$，由夹逼准则 $\frac{x}{\sin x}\to 1$，故 $\frac{\sin x}{x}\to 1$。

注意 $x$ 必须是弧度。若用角度，极限会变成 $\frac{\pi }{180}$。

第一重要极限的推论

推论	式子
余弦	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
正切	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1$
反正弦	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin x}{x}=1$
等价形式	$\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$，$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

余弦推论的推导：$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2{\sin }^2(x/2)}{x^2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\sin (x/2)}{x/2}\right)}^2\to \frac{1}{2}$。

第二重要极限

定义（第二重要极限）

${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$

这个极限是自然常数 $e$ 的定义来源，详见 e。

为什么等于 $e$

这是 $1^{\infty }$ 型未定式。底数趋近 $1$，指数趋近无穷，两者”竞争”的结果是一个有限值。

取对数：

$\ln \left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right]=x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$

令 $t=\frac{1}{x}$，则 $t\to 0$，上式变为 $\frac{\ln (1+t)}{t}\to 1$。故原极限为 $e^1=e$。

这个推导用到了 $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$，它本身又依赖于 $e$ 的定义。这是一个循环，严格的建立需要先定义 $e$，再证明该极限。

第二重要极限的推论

推论	式子
等价形式	$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}=e$
对数	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
指数	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$
幂	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^a-1}{x}=a$

两种常见变形

变形一：$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{k}{x}\right)}^x=e^k$。

变形二：$\underset{x\to 0}{\lim }(1+kx{)}^{1/x}=e^k$。

形式	结果
${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$	$e$
${\left(1+\frac{k}{x}\right)}^x$	$e^k$
${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{kx}$	$e^k$
$(1+x{)}^{1/x}$	$e$

记忆方法：把”多出来的那个因子”提到指数上。

两个极限的地位

极限	作用
$\frac{\sin x}{x}$	三角函数的导数公式由此而来
${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$	指数函数的导数公式由此而来

这就是它们被称为”特殊”的原因：它们分别是三角与指数两族函数求导的基础。没有这两个极限，微积分的公式体系无法建立。

常见误区

错误说法	问题
”$\frac{\sin x}{x}$ 可以约掉 $x$”	$x$ 不是公因子
”$1^{\infty }$ 型极限一定等于 $1$“	是未定式，取决于竞争
”用角度制也有 $\frac{\sin x}{x}\to 1$“	角度制下为 $\frac{\pi }{180}$
“两个重要极限可以直接代入”	代入后是未定式
”推论可以不加条件地使用”	都要求 $x\to 0$ 或 $x\to \infty$

引出

为什么 ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ 的极限不是 $1$？底数不是趋近 $1$ 吗？

这两个极限能否用泰勒展开统一理解？

为什么所有初等函数的导数都能由这两个极限推出？

• e：第二重要极限的深入
• 夹逼准则：第一极限的证明工具
• 无穷小的比较：等价无穷小的来源
• 极限的运算法则：未定式的分类
• 常用导数：导数公式的推导
• 数学分析：数学分析的整体框架