渐近线

引入

为什么 $y=\frac{1}{x}$ 的图像在远处越来越贴近 $x$ 轴，却永远不相交？

有些曲线在某个 $x$ 附近冲向无穷，那条竖线算不算”图像的一部分”？

一条曲线最多能有几条渐近线？

正文

定义

若曲线上的点沿某方向趋于无穷时，到某条直线的距离趋于零，则称该直线为曲线的渐近线。

三种渐近线

类型	形式	触发条件
水平	$y=b$	$x\to \pm \infty$ 时 $f(x)\to b$
垂直	$x=a$	$x\to a$ 时 $f(x)\to \pm \infty$
斜	$y=kx+b$	$x\to \pm \infty$ 时 $f(x)-(kx+b)\to 0$

水平渐近线

${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=b\text{或}{\lim }_{x\to -\infty }f(x)=b$

两个方向要分别考虑。$y=\arctan x$ 有两条水平渐近线：$y=\frac{\pi }{2}$ 和 $y=-\frac{\pi }{2}$。

函数	水平渐近线
$\frac{1}{x}$	$y=0$
$\arctan x$	$y=\pm \frac{\pi }{2}$
$e^x$	$y=0$（仅 $x\to -\infty$）
$\frac{x^2}{x^2+1}$	$y=1$

水平渐近线最多两条（左右各一条）。

垂直渐近线

${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\infty \text{或}{\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\infty$

垂直渐近线出现在函数无定义但极限为无穷的点，通常是分母的零点。

函数	垂直渐近线	原因
$\frac{1}{x}$	$x=0$	分母为零
$\tan x$	$x=\frac{\pi }{2}+k\pi$	余弦为零
$\ln x$	$x=0$	对数在 $0$ 处趋于 $-\infty$

注意区分：若分母为零但极限有限（如 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $0$ 处），那是可去间断点，不是垂直渐近线。

斜渐近线

若存在 $k\ne 0$，使

${\lim }_{x\to \infty }\left[f(x)-(kx+b)\right]=0$

则 $y=kx+b$ 是斜渐近线。

求法：

$k={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x},b={\lim }_{x\to \infty }\left[f(x)-kx\right]$

步骤	操作
1	先检验是否有水平渐近线（有则无斜渐近线）
2	求 $k=\lim \frac{f(x)}{x}$
3	若 $k$ 存在且非零，求 $b$
4	若 $k=0$，则是水平渐近线

为什么”有水平渐近线就没有斜渐近线”？ 因为水平渐近线对应 $k=0$，而斜渐近线要求 $k\ne 0$，同侧不可能同时成立。

例题

求 $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$ 的渐近线。

$f(x)=x+\frac{1}{x}$

• 垂直：$x=0$（分母为零，函数趋于无穷）
• 斜：$y=x$（因为 $\frac{1}{x}\to 0$）
• 水平：无（$x\to \infty$ 时 $f(x)\to \infty$）

验证：$f(x)-x=\frac{1}{x}\to 0$，符合斜渐近线定义。

渐近线的数量

类型	数量上限
垂直	可以有多条
水平	最多两条（左右各一）
斜	最多两条（左右各一）

同侧的水平渐近线与斜渐近线互斥，但不同侧可以不同：$f(x)=x+\frac{1}{x}$ 在 $x\to +\infty$ 时以 $y=x$ 为渐近线，在 $x\to -\infty$ 时也以 $y=x$ 为渐近线（同一条）。

常见误区

错误说法	问题
”分母为零就是垂直渐近线”	需极限为无穷
”水平渐近线和斜渐近线可以同时存在于同一侧”	互斥
”渐近线是曲线的一部分”	曲线可能永不相交
”斜渐近线的 $k$ 可以是任意值”	需 $k$ 存在且非零
”求斜渐近线不用先排除水平”	应先检验

引出

为什么曲线可以与渐近线相交？这与”渐近”的定义矛盾吗？

双曲线的渐近线为什么可以直接由方程得到？

隐函数或参数方程定义的曲线，如何求渐近线？

• 函数的极限：渐近线的极限定义
• 双曲线：渐近线的标准例子
• 导数的几何意义：斜率的来源
• 函数的凹凸性：曲线形状的整体描述
• 数学分析：数学分析的整体框架