高中数学选修一

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第一章 空间向量与立体几何

• 空间向量：坐标表示、基本定理、法向量与三种角
• 空间向量基本定理：见 基本定理
• 空间向量及其运算的坐标表示：见 坐标表示
• 空间向量的应用：见 求角、求距离

本章的意义是把立体几何的推理变成计算。代价是需要建系，收益是流程固定、不易漏情况。

第二章 直线和圆的方程

• 直线的倾斜角与斜率：方向如何量化，斜率不存在的意义
• 直线的方程：五种形式的适用范围
• 直线的交点坐标与距离公式：交点、点到直线距离、对称
• 圆与方程：标准方程、一般方程、位置关系、弦长、切线

“斜率不存在”不是”斜率为零”。前者对应垂直直线，后者对应水平直线。设方程时若忽略这一点，会漏解。

第三章 圆锥曲线的方程

• 椭圆：距离之和，$a^2=b^2+c^2$
• 双曲线：距离之差，$c^2=a^2+b^2$，有渐近线
• 抛物线：到焦点与准线距离相等，离心率为 $1$

椭圆与双曲线的关系式相反，记法是”谁最大，谁等于另外两者平方和”：椭圆中 $a$ 最大，双曲线中 $c$ 最大。

三种曲线可以用一个定义统一：到焦点距离与到准线距离之比等于离心率。$e<1$ 椭圆，$e=1$ 抛物线，$e>1$ 双曲线。详见 解析几何。

引出

为什么用向量求二面角时，需要判断法向量夹角的符号？

三种圆锥曲线能否用同一个方程表示？

解析几何的计算量很大，有没有更省力的替代方法？

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