光的衍射

引入

光沿直线传播是日常经验，为什么光通过很窄的缝时会“拐弯”扩散开？

为什么望远镜口径越大，能看清的细节越多？

为什么显微镜不能无限放大，总有一个分辨极限？

衍射是波遇到障碍物后偏离直线传播的现象。它给所有光学仪器的分辨能力设了一个不可突破的上限，这个上限只由波长和口径决定。

正文

定义

光的衍射是光波遇到障碍物或通过狭缝时，偏离直线传播并产生明暗条纹分布的现象。

衍射的显著条件

$$a\sim \lambda$$

障碍物或缝宽 $a$ 与波长 $\lambda$ 相当时，衍射明显。$a\gg \lambda$ 时衍射可忽略，光近似沿直线传播。

这就是为什么日常看不到光的衍射：门缝、窗框的尺寸远大于 $500\mathrm{nm}$。

惠更斯-菲涅耳原理

波前上每一点都可以看作新的子波源，这些子波的包络面构成新的波前。衍射图样是所有子波在观察点相干叠加的结果。

这个原理把“波如何绕过障碍物”转化为“无数子波如何叠加”，是分析一切衍射问题的出发点。

单缝夫琅禾费衍射

平行光通过宽度为 $a$ 的狭缝，在远处屏幕上产生衍射图样。

暗纹条件：

$$a\sin \theta =k\lambda ,k=\pm 1,\pm 2,\dots$$

特征	说明
中央明纹	最宽、最亮，宽度约为其他明纹的两倍
两侧明纹	亮度迅速减弱
中央明纹角宽度	$\Delta \theta \approx \frac{2\lambda }{a}$
缝越窄	中央明纹越宽，衍射越显著

注意暗纹条件是 $a\sin \theta =k\lambda$ 而不是明纹，这与双缝干涉正好相反，容易混。

圆孔衍射与分辨本领

光通过直径为 $D$ 的圆孔，产生艾里斑：中央亮斑加同心暗环、亮环。

艾里斑的角半径（瑞利判据）：

$${\theta }_R=1.22\frac{\lambda }{D}$$

两个点光源的角间距小于 ${\theta }_R$ 时，它们的艾里斑重叠过多，无法分辨。

仪器	提高分辨本领的方式
望远镜	增大口径 $D$
显微镜	增大数值孔径，用短波长
人眼	瞳孔直径约 $2$–$8\mathrm{mm}$，约 $1^{\prime }$

这就是望远镜越造越大的物理原因：不是为了收集更多光，而是为了看得更清。

衍射与干涉的关系

项目	干涉	衍射
子波来源	有限个分立光源	同一波前的连续子波
条纹	等间距	中央最宽最亮，两侧衰减
数学处理	有限项求和	积分

双缝实验中，每条缝先发生衍射，两缝的衍射光再干涉。所以实际条纹的亮度不是均匀的，而是被单缝衍射的包络调制。

化学中的应用

• X射线衍射原理：X 射线波长约 $0.1\mathrm{nm}$，与晶体原子间距相当，晶体作为三维衍射光栅。
• 电子衍射：德布罗意物质波波长极短，可测定分子结构。
• 激光粒度分析：颗粒的衍射图样与粒径相关，用于测量粒径分布。

引出

单缝衍射的分辨率有限。用大量等间距狭缝组成的光栅可以极大提高分辨能力，是光谱仪的核心分光元件。

光的干涉和光的衍射本质上都是波的相干叠加，只是参与叠加的子波来源不同。

为什么电子显微镜的分辨本领远高于光学显微镜？