简谐振动的运动方程

引入

简谐振动的动力方程可以通过牛顿第二定律较容易推导出来，但我们常见的简谐运动的运动方程是如何推导出来的呢？

推导过程

正文

定义

一个质点的在做简谐振动有以下位移
$x=A\cos (\omega t+\phi )$

$A$ 为振幅，反应系统的运动范围，偏离平衡位置的最大距离。

${\omega }^2=\frac{k}{m}$，其中 $\omega$ 为圆频率，反应振动的快慢。

$\phi$ 为初相位，相空间的初始位置。

$$\begin{array}{rl}x=& A\cos (\omega t+\phi )\\ v=& \frac{\mathrm{d}x}{dt}=-A\omega \sin (\omega t+\phi )\\ a=& \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-A{\omega }^2\cos (\omega t+\phi )\end{array}$$

注意到 $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\omega }^2[A\cos (\omega t+\phi )]$，则： $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\omega }^{2}x$，即 $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$

推导

由简谐振动的动力学方程得：

$$\begin{array}{rl}& \frac{d^{2}x}{dt}+{\omega }^{2}x=0\\ & \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\omega }^{2}x\\ & 可观察到，二阶导后的值为x\mathrm{本身以及二次方常数}-{\omega }^2\\ & 拟设：x(t)=e^{rt}\\ & 代入：\frac{d^2{e}^{rt}}{d{t}^2}=-{\omega }^2{e}^{rt}\\ & r^2{e}^{rt}=-{\omega }^2{e}^{rt}\\ & r^2=-{\omega }^2\\ & r^2=i^2{\omega }^2\\ & r=\sqrt{(i\omega {)}^2}\\ & r=\pm i\omega \end{array}$$

根据微分方程理论，方程的通解是两个线性无关解的组合，以及由欧拉公式得：

$$\begin{array}{rl}& x(t)=C_1{e}^{i\omega t}+C_2{e}^{-i\omega t}\\ & 代入欧拉公式：e^{ix}=\cos x+i\sin x\\ & x(t)=C_1(\cos \omega t+i\sin \omega t)+C_2(\cos \omega t-i\sin \omega t)\\ & x(t)=(C_1+C_2)\cos \omega t+i(C_1-C_2)\sin \omega t\\ & \mathrm{令}{c}_1=C_1+C_2，c_2=i(C_1-C_2)则：\\ & x(t)=c_1\cos \omega t+c_2\sin \omega t\end{array}$$

现在，可以引入两个新的常数 $A$ 和 $\phi$ 来替代 $c_1$，$c_2$。将数学式子化简：
对其进行坐标变换，换至极坐标下：$c_1=A\cos \phi$，$c_2=-A\sin \phi$

利用辅助角公式得：

$$\begin{array}{rl}x(t)=& A\cos \phi \cos \omega t-A\sin \phi \sin \omega t\\ =& A(cos\phi \cos \omega t-\sin \phi \sin \omega t)\\ =& A\cos (\omega t+\phi )\end{array}$$

验证

由牛顿第二定律，简谐振动得：

$$\begin{array}{c}a=\frac{F}{m}=\frac{-kx}{m}=\frac{-kA\cos (\omega +\phi )}{m}\\ 联立得：\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\\ 则：\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0\end{array}$$

引出

这里的 $\omega$ 是圆频率，与圆周运动中的角速度是什么关系呢？

在数学上，两者的值完全相同，但在物理意义上不一样：角速度是描述质点在做圆周运动时转动的快慢；圆频率是描述振动相位变化的快慢。因为振动的图像和三角函数图像相似，而三角函数可从圆推导出来，圆频率便可以看作是圆周运动的角速度在直线上的投影。

在推导运动方程涉及到求解二阶常系数齐次线性微分方程，其通解的理论基础是什么呢？

坑