等比数列

引入

一张纸对折 $30$ 次，厚度能超过珠穆朗玛峰吗？

为什么等比数列的求和公式要分 $q=1$ 和 $q\ne 1$ 两种情况？

一个无穷多项相加，凭什么能等于一个有限的数？

等比数列与等差数列并列为两类基本数列。它的增长方式不是”每次加同样的量”，而是”每次乘同样的倍数”，这导致了完全不同的增长曲线和求和结构。

正文

定义

从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数 $q$ 的数列称为等比数列，$q$ 称为公比。即 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q(q\ne 0)$

公比不能为 $0$，否则所有项从第二项起都是 $0$；首项也不能为 $0$。

通项公式

$a_n=a_1{q}^{n-1}$

推广形式：

$a_n=a_m{q}^{n-m}$

与等差数列的对照

项目	等差数列	等比数列
定义	$a_{n+1}-a_n=d$	$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$
通项	$a_1+(n-1)d$	$a_1{q}^{n-1}$
中项	$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$	$a_n^2=a_{n-1}{a}_{n+1}$
增长方式	线性	指数
求和	$\frac{n(a_1+a_n)}{2}$	分 $q=1$ 讨论
角标和性质	$m+n=p+q\Rightarrow a_m+a_n=a_p+a_q$	$m+n=p+q\Rightarrow a_m{a}_n=a_p{a}_q$

“等差看和、等比看积”，这条对照规律能覆盖大部分性质记忆。

等比中项

若 $a$、$G$、$b$ 成等比数列，则

$G^2=ab$

注意 $G=\pm \sqrt{ab}$，等比中项有两个（同号时），而等差中项只有一个。这是两者最容易混淆的地方。

前 $n$ 项和

$S_n=\{\begin{array}{ll}n{a}_1,& q=1\\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q},& q\ne 1\end{array}$

为什么要分情况？ 因为推导用的是”错位相减”：$S_n-q{S}_n=a_1-a_1{q}^n$，即 $(1-q)S_n=a_1(1-q^n)$。当 $q=1$ 时两边同时为零，无法除以 $1-q$，必须单独处理。

错位相减法

用于求”等差 × 等比”型数列的和，例如 $S_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^n$。

步骤	操作
1	写出 $S_n$
2	两边乘公比 $q$，得 $q{S}_n$，右移一位对齐
3	两式相减，中间项构成等比数列
4	用等比求和公式计算，再除以 $1-q$

这个方法的名字就来自”错一位再相减”。

无穷等比级数

当 $|q|<1$ 时，$q^n\to 0$，于是

$S=\frac{a_1}{1-q}$

这是无穷项之和为有限值的典型例子。

公比	收敛性
$|q|<1$	收敛，和为 $\frac{a_1}{1-q}$
$|q|\ge 1$	发散（$q=1$ 时和为无穷，$q=-1$ 时振荡）

这个结论是 泰勒级数 收敛半径概念的具体实例：$|q|<1$ 就是收敛区间。

判定方法

方法	内容
定义法	$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$（常数）
中项法	$a_n^2=a_{n-1}{a}_{n+1}$ 且各项非零
通项形式	$a_n=c\cdot q^n$（$c\ne 0$）
求和形式	$S_n=A(q^n-1)$

常见误区

错误说法	问题
”$q$ 可以等于 $0$“	定义要求 $q\ne 0$
“等比中项只有一个”	有两个，互为相反数
”求和公式不用分情况”	$q=1$ 时必须单独处理
”所有等比数列都可以求无穷和”	仅 $|q|<1$ 时收敛
”等比数列一定单调”	$q<0$ 时正负交替

引出

为什么 $|q|<1$ 时无穷级数收敛？收敛速度由什么决定？

错位相减法能否推广到”多项式 × 等比”的求和？

等比数列的指数增长与复利、人口模型是什么关系？

• 等差数列：线性增长的情形
• 数列：数列的一般概念
• 数列的极限：无穷和的严格定义
• 泰勒级数：收敛半径与公比的类比
• e：复利模型中的极限
• 数学：数学学科入口