通项公式

引入

给出数列的前几项，能不能唯一确定它的通项公式？

为什么”猜通项”有时很快，有时完全猜不出来？

递推关系 $a_{n+1}=2a_n+1$ 怎么变成显式公式？

正文

定义

通项公式是用 $n$ 直接表示 $a_n$ 的式子，即 $a_n=f(n)$。与递推公式不同，它不需要逐项计算。

通项公式不唯一

数列 $2,4,6,8,\cdots$ 的通项可以是 $a_n=2n$，也可以是

$a_n=2n+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$

后者在前四项都等于 $2,4,6,8$，但从第五项开始不同。

这说明”由前几项猜通项”在逻辑上不严谨，只能作为猜想。要证明，必须用 数学归纳法 或由递推关系严格推出。

常见求法

类型	方法
等差型 $a_{n+1}-a_n=d$	直接用公式
等比型 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$	直接用公式
$a_{n+1}=a_n+f(n)$	累加法
$a_{n+1}=a_n\cdot f(n)$	累乘法
$a_{n+1}=p{a}_n+q$	构造等比数列
$a_{n+1}=\frac{a_n}{k{a}_n+1}$	取倒数
含 $S_n$ 的关系	用 $a_n=S_n-S_{n-1}$

累加法

若 $a_{n+1}-a_n=f(n)$，则

$a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}f(k)$

例如 $a_{n+1}=a_n+2n$，$a_1=1$：

$a_n=1+{\sum }_{k=1}^{n-1}2k=1+n(n-1)=n^2-n+1$

累乘法

若 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$，则

$a_n=a_1{\prod }_{k=1}^{n-1}f(k)$

例如 $a_{n+1}=\frac{n+1}{n}{a}_n$，$a_1=1$：

$a_n=1\cdot {\prod }_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}=n$

乘积可以逐项约分，这是累乘法的核心优势。

构造等比数列

对 $a_{n+1}=p{a}_n+q$（$p\ne 1$），设

$a_{n+1}+t=p(a_n+t)$

展开得 $a_{n+1}=p{a}_n+(p-1)t$，对比原式得 $(p-1)t=q$，即

$t=\frac{q}{p-1}$

于是 $\{a_n+t\}$ 是公比为 $p$ 的等比数列：

$a_n+t=(a_1+t)p^{n-1}$

这个方法的本质是”平移”：把递推式的固定点搬到原点，化为纯等比。

原式	构造
$a_{n+1}=2a_n+1$	$t=1$，$\{a_n+1\}$ 等比
$a_{n+1}=3a_n-2$	$t=-1$，$\{a_n-1\}$ 等比
$a_{n+1}=a_n+2$	$p=1$，退化为等差

$p=1$ 时公式失效，因为此时是等差数列，不适用构造法。

取倒数法

对 $a_{n+1}=\frac{a_n}{k{a}_n+1}$，两边取倒数：

$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{k{a}_n+1}{a_n}=k+\frac{1}{a_n}$

于是 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 是公差为 $k$ 的等差数列。

含 $S_n$ 的关系

$a_n=\{\begin{array}{ll}{S}_1,& n=1\\ S_n-S_{n-1},& n\ge 2\end{array}$

$n=1$ 必须单独验证，因为 $S_0$ 未定义。这是最常见的失分点。

步骤	操作
1	由 $n\ge 2$ 推出 $a_n$ 的表达式
2	令 $n=1$ 求 $a_1=S_1$
3	检验 $n=1$ 是否满足第 1 步的式子
4	若不满足，写成分段形式

常见误区

错误说法	问题
”前几项相同就是同一个数列”	通项不唯一
”$a_n=S_n-S_{n-1}$ 对 $n=1$ 也成立”	$S_0$ 无定义
”构造法对 $p=1$ 也适用”	退化为等差
”累乘法不用约分”	约分是关键步骤
”猜出的通项不用证明”	逻辑上不严谨

引出

为什么通项公式不唯一，但数列本身是唯一的？

构造等比数列的”平移量” $t$ 有几何意义吗？

二阶线性递推如何求通项？

• 数列：数列的基本概念
• 等差数列：等差型递推
• 等比数列：等比型递推
• 数学归纳法：通项公式的证明
• 数列的极限：通项决定极限
• 数学：数学学科入口