复合函数

引入

$y=\sin (x^2)$ 和 $y=(\sin x{)}^2$ 看起来相似，为什么一个是复合函数、一个不是？

复合函数的定义域为什么不能简单地把内层的值域当成外层的定义域？

为什么复合函数的求导要”由外向内”逐层进行？

正文

定义

设函数 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f$，$u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$，且 $g$ 的值域与 $D_f$ 有交集，则 $y=f[g(x)]$ 称为由 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合而成的复合函数，$u$ 称为中间变量。

定义域的确定

复合函数的定义域是使 $g(x)\in D_f$ 的所有 $x$ 的集合：

$D=\{x\mid x\in D_g,g(x)\in D_f\}$

不能直接取 $D_g$。例如 $y=\sqrt{1-x^2}$，内层 $u=1-x^2$ 的定义域是 $\mathbb{R}$，但外层 $\sqrt{u}$ 要求 $u\ge 0$，所以复合后的定义域是 $[-1,1]$。

层次	函数	定义域/值域
内层	$u=1-x^2$	$D=\mathbb{R}$，值域 $(-\infty ,1]$
外层	$y=\sqrt{u}$	$D=[0,+\infty )$
复合	$y=\sqrt{1-x^2}$	$D=[-1,1]$

分解方法

把复合函数拆成基本初等函数的串联：

复合函数	分解
$\sin (x^2)$	$u=x^2$，$y=\sin u$
$e^{2x+1}$	$u=2x+1$，$y=e^u$
$\ln (\cos x)$	$u=\cos x$，$y=\ln u$
$\sqrt{1-x^2}$	$u=1-x^2$，$y=\sqrt{u}$

分解的目的是让每一步都可以单独处理，这在求导和积分中都要用到。

复合的次序不能交换

$f[g(x)]\ne g[f(x)]$

例如 $f(u)=\sin u$、$g(x)=x^2$：

复合	结果
$f[g(x)]$	$\sin (x^2)$
$g[f(x)]$	$(\sin x{)}^2={\sin }^{2}x$

两者完全不同。“由内向外”是唯一正确的读法。

复合与换元

复合函数是换元法的对象：

场景	操作
求导	链式法则：由外向内逐层求导相乘
积分	凑微分：把内层与内层导数一起换掉
解方程	令 $u=g(x)$，化为关于 $u$ 的方程

链式法则：

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

详见 导数的运算法则。

复合函数的性质

性质	规律
单调性	同增异减（内外层单调性相同则增，相反则减）
奇偶性	内偶则偶；内奇时看外层
周期性	若外层周期为 $T$，则复合后周期不超过 $T$
连续性	连续函数的复合仍连续

“同增异减”的推导：设 $x_1<x_2$，若内外层都增，则 $g(x_1)<g(x_2)$，进而 $f(g(x_1))<f(g(x_2))$，整体递增。其余三种情况同理。

常见复合结构

类型	例子
幂套三角	${\sin }^{2}x$、${\tan }^{3}x$
三角套幂	$\sin (x^2)$、$\cos (2x+1)$
指数套多项式	$e^{x^2}$、$2^{3x-1}$
对数套三角	$\ln |\cos x|$
根式套二次	$\sqrt{1-x^2}$
多层	$e^{\sin (x^2)}$

多层复合求导时，每一层都要乘上自己的导数，容易漏层。

常见误区

错误说法	问题
”复合函数就是把两个式子相乘”	是嵌套，不是乘法
”定义域取内层的定义域”	需同时满足外层要求
”$\sin x^2$ 与 ${\sin }^{2}x$ 相同”	完全不同
”复合次序可以交换”	一般不可交换
”复合函数的单调性只看外层”	需内外层同时判断

引出

为什么定义域要取交集而不是并集？

多层复合求导时，如何避免漏掉某一层？

复合函数的反函数如何求？

• 函数：函数的基本概念
• 函数的性质：单调性与复合的关系
• 导数的运算法则：链式法则
• 不定积分运算法则：凑微分
• 三角函数的几何定义：常见的复合内层
• 数学分析：数学分析的整体框架