无穷大的比较

引入

$x^2$ 和 $x$ 都趋于无穷，哪个”更大”？

为什么求 $\frac{\infty }{\infty }$ 型极限时，只需看最高次项？

什么是”抓大头”原则，它为什么成立？

正文

定义

设当 $x\to a$（或 $x\to \infty$）时，$\lim f(x)=\infty$ 且 $\lim g(x)=\infty$，考察比值极限 $L=\lim \frac{f(x)}{g(x)}$

四种阶

$L$ 的值	称谓	记号
$L=\infty$	$f$ 是 $g$ 的高阶无穷大	$g=o(f)$
$L=C\ne 0$	同阶无穷大	$f=O(g)$
$L=1$	等价无穷大	$f\sim g$
$L=0$	$f$ 是 $g$ 的低阶无穷大	$f=o(g)$

$k$ 阶无穷大

若存在正数 $k$，使

$\lim \frac{f(x)}{[g(x){]}^k}=C(C\ne 0)$

则称 $f$ 是 $g$ 的**$k$ 阶无穷大**。这是”阶”的量化版本，用于精确比较增长速度。

抓大头原则

原则

当 $x\to \infty$ 时，多项式的等价无穷大是它的最高次项。

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0\sim a_n{x}^n$

为什么成立：提取最高次项后

$\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots }{a_n{x}^n}=1+\frac{a_{n-1}}{a_n}\cdot \frac{1}{x}+\cdots \to 1$

低次项相对最高次项趋于零，所以可以忽略。

“抓大头”只适用于乘除结构。在加减结构中直接替换会出错：

${\lim }_{x\to \infty }\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$

若把 $\sqrt{x^2+x}$ 抓成 $\sqrt{x^2}=x$，会得到 $0$，但正确结果是 $\frac{1}{2}$。原因是这里两个无穷大相减，低阶项恰好是主要贡献。

增长速度的排序

当 $x\to \infty$ 时：

$\ln x\ll x^a(a>0)\ll a^x(a>1)\ll x!\ll x^x$

函数	增长速度
$\ln x$	最慢
$\sqrt{x}$	慢
$x$	中
$x^2$	快
$e^x$	更快
$x!$	极快

这个排序是算法复杂度分析的基础：$O(\log n)$ 优于 $O(n)$，$O(n^2)$ 又优于 $O(2^n)$。

常见等价无穷大

函数	等价形式
多项式	$a_n{x}^n$
$\sqrt{a{x}^2+bx+c}$	$\sqrt{a}|x|$
$\ln (x^n+1)$	$n\ln x$
$n!$	$\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$（斯特林公式）
$1+2+\cdots +n$	$\frac{n^2}{2}$
$1^2+2^2+\cdots +n^2$	$\frac{n^3}{3}$

求和型

${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\sim \frac{n^2}{2}$

${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\sim \frac{n^3}{3}$

求和后的阶比重数高一阶，因为累加 $n$ 项会带来 $n$ 倍的放大。

与无穷小比较的对偶

无穷大	无穷小
$f=\infty$，$g=\infty$	$f=0$，$g=0$
考察 $f/g$	考察 $f/g$
$L=\infty$ 高阶	$L=0$ 高阶
$L=0$ 低阶	$L=\infty$ 低阶

阶的方向相反：无穷大中”大”的是高阶，无穷小中”小”的是高阶。这是最容易记混的地方。

常见误区

错误说法	问题
”抓大头可以用于加减”	只能用于乘除
”$x^2$ 与 $x$ 同阶”	不同阶
”等价无穷大可以在加减中替换”	不行
”$\ln x$ 比 $x$ 增长快”	$\ln x$ 更慢
”无穷大的阶与无穷小的阶定义相同”	方向相反

引出

为什么等价无穷大在加减中不能替换？

斯特林公式如何把阶乘转化为幂函数？

算法复杂度中的 $O$ 记号与这里的阶有什么关系？

• 无穷小的比较：对偶概念
• 洛必达法则：$\infty /\infty$ 型的通用解法
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