泰勒公式

引入

起初在学习简谐振动时候碰到了欧拉公式描述，发现欧拉公式的推导需要基于泰勒公式.

对于一个简谐振动的运动描述，可以使用泰勒公式作为近似函数.

利用函数某单个点的导数，来近似这个点附近的函数的.

泰勒公式是一个寻找高阶多项式来表示函数的过程.

泰勒公式的理解思路可参考思维导图

正文

以下的 $f(x)$ 都是近似多项式：$P(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n$

定义

设 $n$ 是一个正整数。如果定义在一个包含 $a$ 的区间上的函数 $f$ 在 $a$ 点处 $n+1$ 次可导，那么对于这个区间上的任意 $x$，都有： $f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+R_n(x).$
其中的多项式称为函数在 $a$ 处的泰勒展开式，剩余的 $R_n(x)$ 是泰勒公式的余项，是 $(x-a{)}^n$ 的高阶无穷小.即皮亚诺型余项：$0[a_n(x-x_0{)}^n]$.

泰勒公式

定义-泰勒中值定理

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0)$ 内具有（$n+1$）阶导数，那么对任一 $x\in U(x_0)$ ，有 $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$
其中
$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$
又名拉格朗日型余项，这里 $\xi$ 是 $x_0$ 与x之间的某个值.

特别注意：泰勒公式目的是找出函数某点出的近似函数，绝大部分时候不能近似出整个函数.

推导

假设一个多项式为：$P(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n$

让 $P(x)$ 匹配原函数 $f(x)$，在 $x_0$ 这一点，它们的函数值、一阶导、二阶导……统统相等

• 第 0 步（函数值相等）：代入 $x=x_0$：$P(x_0)=a_0+0+0+\cdots =a_0$，令 $P(x_0)=f(x_0)$，解得：$a_0=f(x_0)$
• 第 1 步（一阶导相等）：对 $P(x)$ 求导：$P^{\prime }(x)=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0{)}^2+\dots$ 代入 $x=x_0$：$P^{\prime }(x_0)=a_1$ 令 $P^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)$，解得：$a_1=f^{\prime }(x_0)$
• 第 2 步（二阶导相等）：$P^{\prime \prime }(x)=2\cdot 1\cdot a_2+3\cdot 2\cdot a_3(x-x_0)+\dots$ 代入 $x=x_0$：$P^{\prime \prime }(x_0)=2!\cdot a_2$ 令 $P^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)$，解得：$a_2=\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}$
• 第 3 步（三阶导相等）：再求导：$P^{\prime \prime \prime }(x)=3\cdot 2\cdot 1\cdot a_3+\dots$代入 $x=x_0$，令其等于 $f^{\prime \prime \prime }(x_0)$，解得：$a_3=\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}$

第 $n$ 次求导后，常数项系数会变成 $n!\cdot a_n$。所以：$a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$

引出

泰勒公式更多应用在 $f(x)=0$ 处近似，因 $x_0=0$，$f(x)$ 的各阶导数会简化很多，即麦克劳林公式.

带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广

e 是一个特殊例子，$e^x$ 的各阶导数都为它本身，所以其在 $x_0=0$ 处使用泰勒公式可以完美描述 $e^x$：
$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

泰勒公式是有限项以及余项的等式，而泰勒级数可用于表示某点处无限可导，且余项无限趋近于零的函数.