三角恒等式

引入

为什么 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 对任意角都成立，而不只是锐角？

诱导公式有十几条，真的需要全部背下来吗？

和角公式 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ 是怎么来的？

正文

定义

三角恒等式是对定义域内任意角都成立的等式，描述不同三角函数之间、不同角之间的固定关系。

同角三角函数关系

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

关系	式子	来源
平方关系	${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$	单位圆上 $x^2+y^2=1$
商数关系	$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$	定义
倒数关系	$\sec x=\frac{1}{\cos x}$，$\csc x=\frac{1}{\sin x}$	定义

平方关系可以在单位圆中通过勾股定理推出：交点在单位圆上，横纵坐标满足 $x^2+y^2=1$，而 $x=\cos \theta$、$y=\sin \theta$。

由平方关系导出的变形

${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x,{\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$

$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x,1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$

第二组由第一组除以 ${\cos }^{2}x$ 或 ${\sin }^{2}x$ 得到。这三个式子（平方、$\tan$、$\cot$ 版本）构成完整的平方关系族。

注意 $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$ 只在 $\sin x\ge 0$ 时成立，一般情形要带符号，符号由象限决定。

诱导公式

诱导公式的作用是把任意角化为锐角。

角的形式	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$-\alpha$	$-\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$-\tan \alpha$
$\pi -\alpha$	$\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\tan \alpha$
$\pi +\alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$\tan \alpha$
$2\pi -\alpha$	$-\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$-\tan \alpha$
$\frac{\pi }{2}-\alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$\cot \alpha$
$\frac{\pi }{2}+\alpha$	$\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cot \alpha$

记忆口诀”奇变偶不变，符号看象限”：

部分	含义
奇变偶不变	$\frac{\pi }{2}$ 的奇数倍则函数名互换，偶数倍则不变
符号看象限	把 $\alpha$ 视为锐角，看原角所在象限的原函数符号

这个口诀不是捷径，而是记忆辅助。理解原理后，只记 $-\alpha$、$\pi -\alpha$ 两组，其余都可以推出。

和差角公式

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$

注意余弦公式的符号相反：$\cos (\alpha +\beta )$ 中间是减号。这是最容易记错的地方。

推导思路：在单位圆中取两点 $A(\cos \alpha ,\sin \alpha )$、$B(\cos \beta ,\sin \beta )$，用两点距离公式与余弦定理计算 $|AB|$，两边相等即得余弦差角公式。其余公式由它推出。

二倍角公式

由和角公式令 $\beta =\alpha$：

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

$\cos 2\alpha$ 有三种形式，用途不同：

形式	适用
${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$	理论推导
$2{\cos }^2\alpha -1$	已知 $\cos \alpha$ 求 $\cos 2\alpha$
$1-2{\sin }^2\alpha$	已知 $\sin \alpha$，或用于降幂

半角公式

由 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 反解：

${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2},{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$

$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$

半角公式本质是降幂公式：把平方降为一次，代价是角减半。这在积分中极其常用。

积化和差与和差化积

类型	公式
积化和差	$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\left[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right]$
和差化积	$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$

这两组公式都由和差角公式加减得到，不需要单独记忆，用时推导即可。

公式之间的关系

平方关系
    ↓
诱导公式（角的变换）
    ↓
和差角公式（核心）
    ├── 二倍角（令 β=α）
    │       ├── 半角（反解）
    │       └── 降幂（变形）
    └── 积化和差 / 和差化积（加减）

和差角公式是整个体系的枢纽，其余公式都可以从它推出。记忆时抓住这一条，比背十几条公式可靠。

常见误区

错误说法	问题
"$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha +\sin \beta$"	严重错误
”$\cos (\alpha +\beta )$ 中间是加号”	是减号
”$\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$ 总成立”	只在 $\sin x\ge 0$ 时
”诱导公式需要全部背下来”	可由和差角推出
”二倍角公式只能用于 $2\alpha$“	可用于任何”两倍”关系

引出

为什么和差角公式能推出其余全部公式？

三角恒等式与复数的指数形式有什么联系？

万能公式 $t=\tan \frac{x}{2}$ 为什么能统一所有三角有理式？

• 三角函数的几何定义：单位圆与平方关系
• 三角函数的复数定义：欧拉公式视角
• 正弦定理、余弦定理：解三角形中的恒等式
• 角：弧度制与任意角
• 不定积分运算法则：三角代换的依据
• 数学分析：数学分析的整体框架