数列的极限

引入

一个无法确定终点的对象，我们是如何尽力维护的？

对无上下限的数列进行分析

假如我正在前往家的路上，但每次只能走目前位置到家路程的一半，尽管我离家越来越近，但永远无法实现抵达家的真实.（另一个相似悖论）

数列是一种特殊函数的极限

定义（描述性）

对于数列 ${x_{n}}$ ，如果当 n 无限增加，数列的 ${x_{n}}$ 无限接近于一个实数 $a$ ，则称 $a$ 为数列 ${x_{n}}$ 当 $n$ 趋向无穷大时的极限.

定义（精确）

任意给定一个正数 $ε$ ,总有正整数 $N$ ，使得 $n > N$ 的所有 $x_{n} > ε$ 都满足 $∣ x_{n} - a ∣ < ε$ ,则 $a$ 为数列 ${x_{n}}$ 当 $n \to \infty$ 的极限，或认为 ${x_{n}}$ 收敛于 $a$ .

数学表示：

a = n \to \infty lim x_{n} \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists 正整数 N > 0, 当 n > N 时有 ∣ x_{n} - a ∣ < ε

根据定义，我们可以证明一些数列有极限，如：

n \to \infty lim (\frac{1}{2})^{n} = 0 证： \forall ε > 0 使得 : (\frac{1}{2})^{n} - 0 < ε \Leftrightarrow n > \frac{ln ε}{ln \frac{1}{2}} = \frac{ln ε}{- ln 2} = - \frac{ln ε}{ln 2} 取 N = ⌈ - \frac{ln ε}{ln 2} ⌉ + 1 当 n > N 时，总有： (\frac{1}{2})^{n} - 0 < ε 则： n \to \infty lim (\frac{1}{2})^{n} = 0

证明的关键在于变化一个不等式，确定 $N$ .
更好的理解： $ε, N$ 是确定的的点，认为它静止了，我们可以继续从变化的 $n$ 找到更接近极限的式子.如此不断找到更小的 $ε$ ，总能被满足，可证明这个数列有极限.

性质一（唯一性）

若数列收敛，则极限唯一。

性质二（有界性）

收敛数列必有界。

逆命题不成立： $(- 1)^{n}$ 有界但不收敛。有界只是收敛的必要条件。

性质三（保号性）

若 $n \to \infty lim a_{n} = a > 0$ ，则存在 $N$ ，当 $n > N$ 时 $a_{n} > 0$ 。

保号性的用处：判断符号、比较大小。若 $a > 0$ ，那么”足够靠后”的项都是正的。

性质四（子列）

若 ${a_{n}}$ 收敛于 $a$ ，则它的任一子列也收敛于 $a$ 。

逆否命题更常用：若存在两个子列收敛到不同的值，则原数列发散。例如 $a_{n} = (- 1)^{n}$ ，奇子列趋于 $- 1$ ，偶子列趋于 $1$ ，故发散。

若 $lim a_{n} = A$ 、 $lim b_{n} = B$ ，则

$lim (a_{n} \pm b_{n}) = A \pm B, lim (a_{n} b_{n}) = A B, lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{A}{B} (B \neq = 0)$

前提是两个极限都存在且有限。若出现 $\infty - \infty$ 、 $\frac{0}{0}$ 等形式，需先变形。

单调有界准则是最常用的间接方法：它不需要预先知道极限值，只需证明”单调”与”有界”，就能断言极限存在。递推数列 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ 通常用它。

为什么”有界”只是必要条件，而”单调有界”就能保证收敛？

子列的性质如何用来证明发散？

数列极限与函数极限的定义，结构上为什么完全同构？